Stoka-Vatsona modelis

Stoka-Vatsona modelis - ir ekonometriskais faktoru modelis. Modelis ļauj pētniekam izmantot lielu statistisko informāciju ekonomisko kopsakarību pētīšanā un prognozēšanā. Faktoru modeļu galvenā ideja ir reducēt lielo mainīgo skaitu N faktoru skaitā q tā, lai q būtu daudz mazāks nekā mainīgo skaits N (q << N).

Stoka-Vatsona faktoru modeļa īpašība ir tā, ka ar noteiktiem pieņēmumiem par faktoru lagu struktūru un to parametriem, dinamisko faktoru modeli ir iespējams pārveidot statiskā veidā un līdz ar to statisko faktoru modeli novērtēt ar galveno komponenšu metodi.

Statistiskais modelis

Katru mainīgo i = 1,…, N no datu kopa X_t faktoru analīzē var izteikt kā divu nenovērojamo ortogonālo elementu summu: kopējā komponente un idiosinkratiskā komponente (1.1). Kopējā komponente tiek izskaidrota ar izvēlētiem faktoriem q, savukārt idiosinkrātiskā komponente ir katra mainīga specifiskais šoks:

$\mathbf {X_{i}t={\lambda }_{i}(L)f_{t}+e_{i}t} ,$ $\mathbf {(1.1)}$

kur, X_it = (X_1t, X_2t, …, X_Nt)' vektors ar dimensiju (N × 1), f_t ir (q × 1) faktoru vektors, λ_i(L) ir (1 × q) faktoru svaru laga operators, e_it ir idiosinkrātisko komponenšu kļūda un e_it = (e_1t, e_2t, …, e_nt)' ir (N × 1) vektors. Atzīmēsim, ka vienādojums (1.1) ir dinamiskā faktoru modeļa pieraksts, jo tiek izmantotas faktoru novēlotās vērtības un parametri ir atkarīgi no laika.

Sekojot Dž. Stoka un M. Vatsona metodoloģijai, mēs pieņemam modeļa formu vienādojumos (1.1) un (1.2), lai prognozētu y laika rindu:

$\mathbf {y_{t+j}={\beta }_{i}(L)f_{t}+{\gamma }_{i}(L)y_{t}+e_{t+j}} ,$ $\mathbf {(1.2)}$

kur y_t+j ir j-tā perioda prognozējamā skalāra vērtība, laika periodam t, kur t=1,…, T, un β(L), γ(L) ir laga operatori; E(ε_t+j | X_t, f_t-1, y_t-1, X_t-1, f_t-2, y_t-2, …) = 0.

Galvenā problēma faktoru modeļu novērtēšanā ir faktoru skaita q noteikšana no datu kopas X_t. Tāpēc, lai novērtētu modeli, parasti pieņem galīgas kārtas polinomus un pārformulē modeli statiskā formā vienādojumos (1.3) un (1.4) Dreger C., un Schumacher C., (2002) parāda pilno matemātisko izvedumu.

$\mathbf {\beta (L)=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}L^{j}} ,$

$\mathbf {\gamma (L)=\sum _{j=0}^{p}\gamma _{j}L^{j}} ,$

$\mathbf {\lambda (L)=\sum _{j=0}^{p}\lambda _{ij}L^{j}} ,$

Galīga polinoma noteikšana ļauj modeli pārrakstīt šādā formā:

$\mathbf {X_{i}t=\Lambda F_{t}+e_{t}} ,$ $\mathbf {(1.3)}$

$\mathbf {y_{t+j}=\beta 'F_{t}+\gamma (L)y_{t}+u_{t+j}} ,$ $\mathbf {(1.4)}$

kur F_t = (f_t', f_t-1', f_t-2', ...,f_t-p')' ir (r × 1) dimensiju vektors ar r = q(p+1), kurš satur visus faktorus un to novēlotās vērtības, Λ ir (N × r) faktoru svaru matrica, kur i—tā rinda ir (λ_i0,λ_i1, λ_i2,...,λ_ip) un β = (β₀, β₁, β₂,..., β_p)' ir (1 × r) dimensiju vektori, bet e_t ir (N × 1) idiosinkrātiskās kļūdas.

Statiskā modeļa priekšrocība ir tā, ka to var novērtēt, izmantojot galveno komponenšu metodi. Ar galveno komponenšu metodes palīdzību mainīgo kopas dimensija N tiek reducēta uz r dimensiju (r ≤ N). Galveno komponenšu analīze risināma ar īpašvektoru palīdzību, kuri atbilst r lielākajām, dilstošajā secībā sakārtotajām īpašvērtībām.

Savukārt laika rindas prognozēšana, tātad definēsim prognozējamas laika rindas vienādojumu:

$\mathbf {y_{t+1}^{1}=\alpha _{1}+\beta _{1}'(L)F_{t}+\gamma _{1}(L)y_{t}} ,$ $\mathbf {(1.5)}$

$\mathbf {y_{t+h}^{h}=\alpha _{h}+\beta _{h}'(L)F_{t}+\gamma _{h}(L)y_{t}} ,$ $\mathbf {(1.6)}$

Vienādojums (1.5) parāda sakarību y vērtības prognozēšanai vienam periodam uz priekšu, bet vienādojumā (1.6) tiek paradīta sakarība h-periodu prognozēšanai uz priekšu. Prognozējamā y_t+h vērtība ir atkarīga no faktoru kopas F_t un no pašas y_t laga vērtībām.