Lopitāla kārtula

Lopitāla kārtula ļauj netieši atrast funkciju dalījuma robežu, ja tiešie robežas noteikšanas paņēmieni noved līdz nenoteiktībai ${\tfrac {0}{0}}$ vai ${\tfrac {\pm \infty }{\pm \infty }}$. Šim nolūkam sākotnējo funkciju dalījuma vietā aplūko to atvasinājumu dalījumu, kas daudzos gadījumos palīdz atbrīvoties no nenoteiktības.

Gijoms Lopitāls, kā vārdā ir nosaukta šī kārtula

Kārtula nosaukta franču matemātiķa Gijoma Lopitāla (1661–1704) vārdā, kaut arī to atklāja Lopitāla skolotājs, Šveices matemātiķis Johans (I) Bernulli. Lopitāls bija pirmais, kurš šo kārtulu nopublicēja — savā diferenciālrēķinu mācības grāmatā 1696. gadā.

Formulējums un noteikumi

Pieņemsim, dotas funkcijas $f(x)$, $g(x)$, un

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ vai }}\pm \infty$.

Ja eksistē robeža

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$, tad

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$.

Noteikumi:

• $c$ un $L$ ir skaitļi no paplašinātās reālo skaitļu ass (t. i. ass, kas iekļauj ne tikai reālos skaitļus, bet arī negatīvo bezgalību $-\infty$ un pozitīvo bezgalību $+\infty$).
• Funkcijām $f(x)$ un $g(x)$ jābūt diferencējamām kādā atvērtā intervālā $I$, kurš ietver sevī punktu $c$ vai kuram punkts $c$ ir viens no galiem. Līdz ar to aplūkojamā robeža var būt arī vienpusīga $\left(\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}{\text{ vai }}\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\right)$.
• $g'(x)\neq 0$ visā intervālā $I$ (izņemot, varbūt, punktu $c$, ja tas atrodas intervāla iekšienē un aplūkojamajā uzdevumā ir vienāds nullei).

Kārtulas neapgriežamība

Apgrieztais princips nedarbojas: no tā, ka robežvērtība $\textstyle \lim {\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ eksistē, nevar izsecināt, ka eksistē arī $\textstyle \lim {\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$.
Arī $\textstyle \lim {\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ neesamība vēl nenozīmē $\textstyle \lim {\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ neesamību.
 

Piemēri

Piemērs ar skaitlisku robežvērtību

Jāatrod robeža $\lim _{x\to \pi /2}{\frac {\cos 2x}{\sin x-e^{\cos x}}}$.             Šeit $f(x):=\cos 2x$       un       $g(x):=\sin x-e^{\cos x}$.
 
Tā kā $\lim _{x\to \pi /2}{f(x)}=0$ un $\lim _{x\to \pi /2}{g(x)}=0$, pastāv nenoteiktība ${\frac {0}{0}}$.

Tāpēc aplūkosim $\lim _{x\to \pi /2}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$. Ja šī robeža eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

$\lim _{x\to \pi /2}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \pi /2}{\frac {\cos 2x}{\sin x-e^{\cos x}}}=\lim _{x\to \pi /2}{\frac {-2\sin 2x}{\cos x+e^{\cos x}\sin x}}={\frac {(-2)\cdot (-1)}{0+1\cdot 1}}=2$.

Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu:

$\lim _{x\to \pi /2}{\frac {\cos 2x}{\sin x-e^{\cos x}}}=2$.

 

Piemērs ar robežvērtību ∞

Jāatrod robeža $\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}$.             Šeit $f(x):={\sqrt {x}}$       un       $g(x):=\ln(x)$.
 
Tā kā $\lim _{x\to \infty }{f(x)}=\infty$ un $\lim _{x\to \infty }{g(x)}=\infty$, pastāv nenoteiktība ${\tfrac {\infty }{\infty }}$.

Ja $\lim _{x\to \infty }{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }{{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}} \over {\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty$.

Lopitāla kārtulas izpratnē $\infty$ ir skaitlis un robežvērtība $\infty$ tiek uzskatīta par eksistējošu. Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\infty$.

 

Kārtulas secīgas izmantošanas piemērs

Ja pēc vienas diferencēšanas atkal rodas nenoteiktība ${\tfrac {0}{0}}$ vai ${\tfrac {\pm \infty }{\pm \infty }}$, Lopitāla kārtulu var pielietot atkārtoti, aplūkojot otro atvasinājumu attiecību, utt. Pieņemsim, jāatrod robeža $\lim _{t\to 0}{\frac {2r-2r\cos \omega t}{t^{2}}}$. Šeit pēc pirmās diferencēšanas nenoteiktība ${\tfrac {0}{0}}$ vēl saglabājas, bet pēc otrās pazūd.
 

$\lim _{t\to 0}{\frac {2r-2r\cos \omega t}{t^{2}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {2r\omega \sin \omega t}{2t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {2r\omega ^{2}\cos \omega t}{2}}=r\omega ^{2}$

Brīdinoši piemēri

Nenoteiktības neesamība

Neievērojot nenoteiktības esamības nepieciešamību, var iegūt nepareizus rezultātus. Aplūkosim sekojošo piemēru, kurā Lopitāla kārtula tiek uzreiz pielietota divas reizes ātras risināšanas labad.

$\lim _{x\to 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {2x^{2}-x-1}{x^{2}-x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {4x-1}{2x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {f''(x)}{g''(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {4}{2}}=2$

Šis rezultāts ir nepareizs. Kļūda ir radusies tāpēc, ka pirms otrās diferencēšanas netika ievērota prasība par nenoteiktības esamību. Pirmie atvasinājumi dod noteiktu dalījumu ${\tfrac {4\cdot 1-1}{2\cdot 1-1}}$, no kura var tieši atrast pareizo robežvērtību $3$.
 

Robežvērtības neesamība

Prasība par robežvērtības $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ esamību ir būtiska, jo dažas funkcijas $f\,'$ un/vai $g\,'$ var nerimstoši svārstīties. Ja tas notiek, Lopitāla kārtulu pielietot nevar.
Piemēram, $\ f(x):=\sin x+2x$ un $\ g(x):=\cos x+2x$. Tātad, argumentam $x$ tiecoties uz $\infty$, pastāv nenoteiktība ${\frac {\infty }{\infty }}$.

Bet Lopitāla kārtulu pielietot nevar, jo $\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\cos x+2}{-\sin x+2}}$ neeksistē kosinusa un sinusa funkciju periodiskuma dēļ, argumentam $x$ tiecoties uz $\infty$. Tajā pat laikā sākotnējam dalījumam robežvērtība ir — to var atrast, pārveidojot sākotnējo dalījumu divos dalījumos: $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x+2x+\cos x-\cos x}{\cos x+2x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {\sin x-\cos x}{\cos x+2x}}\right)=1$.

Kārtulas pieminēšana daiļliteratūrā

Arkādija un Borisa Strugacku fantastikas romānā "Pirmdiena sākas sestdien" (1965) dežurējoši dēmoni laika kavēšanai stāsta viens otram anekdotes par nenoteiktības novēršanu ar Lopitāla metodi.

Saites

• Lopitāla kārtula saitā MathWorld (angliski)