Lopitāla kārtula

Lopitāla kārtula ļauj netieši atrast funkciju dalījuma robežu, ja tiešie robežas noteikšanas paņēmieni noved līdz nenoteiktībai vai . Šim nolūkam sākotnējo funkciju dalījuma vietā aplūko to atvasinājumu dalījumu, kas daudzos gadījumos palīdz atbrīvoties no nenoteiktības.

Gijoms Lopitāls, kā vārdā ir nosaukta šī kārtula

Kārtula nosaukta franču matemātiķa Gijoma Lopitāla (1661–1704) vārdā, kaut arī to atklāja Lopitāla skolotājs, Šveices matemātiķis Johans (I) Bernulli. Lopitāls bija pirmais, kurš šo kārtulu nopublicēja — savā diferenciālrēķinu mācības grāmatā 1696. gadā.

Formulējums un noteikumiLabot

Pieņemsim, dotas funkcijas  ,  , un

 .

Ja eksistē robeža

 , tad
 .

Noteikumi:

  •   un   ir skaitļi no paplašinātās reālo skaitļu ass (t. i. ass, kas iekļauj ne tikai reālos skaitļus, bet arī negatīvo bezgalību   un pozitīvo bezgalību  ).
  • Funkcijām   un   jābūt diferencējamām kādā atvērtā intervālā  , kurš ietver sevī punktu   vai kuram punkts   ir viens no galiem. Līdz ar to aplūkojamā robeža var būt arī vienpusīga  .
  •   visā intervālā   (izņemot, varbūt, punktu  , ja tas atrodas intervāla iekšienē un aplūkojamajā uzdevumā ir vienāds nullei).


Kārtulas neapgriežamībaLabot

Apgrieztais princips nedarbojas: no tā, ka robežvērtība   eksistē, nevar izsecināt, ka eksistē arī  .
Arī   neesamība vēl nenozīmē   neesamību.
 


PiemēriLabot

Piemērs ar skaitlisku robežvērtībuLabot

Jāatrod robeža  .             Šeit         un        .
 
Tā kā   un  , pastāv nenoteiktība  .

Tāpēc aplūkosim  . Ja šī robeža eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

 .

Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu:

 .


 

Piemērs ar robežvērtību ∞Labot

Jāatrod robeža  .             Šeit         un        .
 
Tā kā   un  , pastāv nenoteiktība  .

Ja   eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

 .

Lopitāla kārtulas izpratnē   ir skaitlis un robežvērtība   tiek uzskatīta par eksistējošu. Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu,

 .


 

Kārtulas secīgas izmantošanas piemērsLabot

Ja pēc vienas diferencēšanas atkal rodas nenoteiktība   vai  , Lopitāla kārtulu var pielietot atkārtoti, aplūkojot otro atvasinājumu attiecību, utt. Pieņemsim, jāatrod robeža  . Šeit pēc pirmās diferencēšanas nenoteiktība   vēl saglabājas, bet pēc otrās pazūd.
 

 


Brīdinoši piemēriLabot

Nenoteiktības neesamībaLabot

Neievērojot nenoteiktības esamības nepieciešamību, var iegūt nepareizus rezultātus. Aplūkosim sekojošo piemēru, kurā Lopitāla kārtula tiek uzreiz pielietota divas reizes ātras risināšanas labad.

 

Šis rezultāts ir nepareizs. Kļūda ir radusies tāpēc, ka pirms otrās diferencēšanas netika ievērota prasība par nenoteiktības esamību. Pirmie atvasinājumi dod noteiktu dalījumu  , no kura var tieši atrast pareizo robežvērtību  .
 

Robežvērtības neesamībaLabot

Prasība par robežvērtības   esamību ir būtiska, jo dažas funkcijas   un/vai   var nerimstoši svārstīties. Ja tas notiek, Lopitāla kārtulu pielietot nevar.
Piemēram,   un  . Tātad, argumentam   tiecoties uz  , pastāv nenoteiktība  .

Bet Lopitāla kārtulu pielietot nevar, jo   neeksistē kosinusa un sinusa funkciju periodiskuma dēļ, argumentam   tiecoties uz  . Tajā pat laikā sākotnējam dalījumam robežvērtība ir — to var atrast, pārveidojot sākotnējo dalījumu divos dalījumos:  .


Kārtulas pieminēšana daiļliteratūrāLabot

Arkādija un Borisa Strugacku fantastikas romānā "Pirmdiena sākas sestdien" (1965) dežurējoši dēmoni laika kavēšanai stāsta viens otram anekdotes par nenoteiktības novēršanu ar Lopitāla metodi.

SaitesLabot