Dzimis 1802. gadā nabadzīgā muižnieku ģimenē. Mācījās Šātoraljaūjhejas un Šārošpatakas skolās, studēja Peštas Universitātē. Pēc tam turpat strādāja par juristu. No 1825. līdz 1827. gadam un no 1832. līdz 1836. gadam darbojās Ungārijas landtāgā (ungāru: Magyar Országgyűlés), kas sanāca Požoņā (mūsdienu Bratislavā). Savas nacionālās darbības dēļ no 1837. līdz 1840. gadam bija apcietinājumā. No 1841. gada - liberālās avīzes Pesti Hírlap galvenais redaktors.
Ietekmējoties no notikumiem Parīzē, 1848. gada 3. martā aicināja uz pārmaiņām Ungārijā. Vadīja delegāciju, kas ieradās Vīnē uz pārrunām ar Austrijas valsts vadību, panākot Ungārijas pašpārvaldi. Par valdības vadītāju kļuva liberālis Lajošs Batjāņs, bet Košuts - par finanšu ministru. 1848. gada septembrī par valdības vadītāju iecēla Košutu, tomēr Austrijas ķeizars šo valdību neapstiprināja. Austriešu, horvātu un krievu karaspēkam izdevās sakaut Ungārijas bruņotos spēkus un apspiest revolūciju.
Košuts devās trimdā, iesākumā uz Osmaņu impēriju, vēlāk uz Lielbritāniju un ASV. Apmetās Turīnā, kur 1894. gadā mira.
