Klauss Frīdrihs Rots

Klauss Frīdrihs Rots (Klaus Friedrich Roth; 1925. gada 29. oktobris — 2015. gada 10. novembris) bija Vācijā dzimis britu matemātiķis, kurš ieguva Fīldsa prēmiju par Rota teorēmas pierādīšanu ar algebrisko skaitļu diofanta tuvinājumu.

Klauss Frīdrihs Rots Klauss Frīdrihs Rots Personīgā informācija Dzimis 1925. gada 25. oktobrī Vroclava, Vācija Miris 2015. gada 10. novembrī (90 gadi) Invernesa, Skotija

Zinātniskā darbība Zinātne Matemātika Darba vietas Londonas Universitātes koledža Londonas Impērijas koledža Alma mater Kembridžas Universitāte Londonas Universitātes koledža

1933. gadā Rots kā bērns pārcēlās uz Angliju, lai izvairītos no nacistiem un ieguva izglītību Kembridžas Universitātē un Londonas Universitātes koledžā, 1950. gadā iegūstot doktora grādu. Viņš bija pasniedzējs Londonas Universitātes koledžā līdz 1966. gadam, kad viņš pieņēma darbu Londonas Impērijas koledžā. Viņš aizgāja pensijā 1988. gadā.

Papildus savam darbam par diofanta tuvinājumu, Rots sniedza lielu ieguldījumu teorijā par neprogresējošām kopām aritmētiskajā kombinatorikā un neatbilstību teorijā. Viņš bija arī pazīstams ar savu pētījumu par spēku summām, par lielo sietu, par Heilbrona trīsstūru problēmu un kvadrātu izkārtošanu kvadrātā. Kopā ar Heini Halberamu sarakstījis grāmatu par veselām sekvencēm.

Rots bija ne tikai ieguvis Fīldsa medaļu, bet arī De Morgana medaļu, Silvestera medaļu un Karaliskās biedrības biedru apbalvojumu.

Biogrāfija

Agrīnā dzīve

Rots dzimis ebreju ģimenē Vroclavā, Prūsijā, 1925. gada 29. oktobrī. Lai izvairītos no nacistu vajāšanām, 1934 gadā viņš kopā ar vecākiem pārvācās uz Londonu. Viņš tika audzināts un izglītots Lielbritānijā. Viņa tēvs — advokāts — Pirmā pasaules kara laikā bija ticis saindēts ar gāzi un nomira, kad Rots vēl bija jauns. No 1939. līdz 1943. gadam Rots mācījās Svētā Paula skolā Londonā. Skolā viņš bija pazīstams ar savām spējām gan šahā, gan matemātikā. Viņš mēģināja pievienoties Gaisa spēku vienībai, taču daudzus gadus tika noraidīts, jo viņš bija vācietis, bet vēlāk viņš tika noraidīts, jo viņam trūka pilota vajadzībām nepieciešamās koordinācijas.

Matemātiskā izglītība

Rots mācījās matemātiku Peterhousā, Kembridžā un spēlēja Kembridžas šaha komandā, pabeidzot to 1945. gadā. Neskatoties uz viņa prasmēm matemātikā, viņš matemātiskajos testos ieguva tikai trešās pakāpes apbalvojumus, jo viņam bija zemas testu pildīšanas spējas. Viņa Kembridžas pasniedzējs Džins Čārlzs Burkils neatbalstīja Rota zinatniskas darbības turpināšanu matemātikā, iesakot tā vietā veikt "kādu komerciālu darbu ar statistisku novirzi". Neskatoties uz to, viņš kļuva par skolotāju Gordonstounā.

Pēc Harolda Davenporta ieteikuma viņš 1946. gadā tika pieņemts matemātikas maģistra programmā Londonas Universitātes koledžā, kur viņš strādāja Teodora Estermana uzraudzībā. 1948. gadā viņš ieguva maģistra grādu, bet 1950 gadā doktora grādu. Viņa disertācija bija pierādījums tam, ka gandrīz visi pozitīvie skaitļi ir kvadrāta, pozitīva kuba un ceturtās varas summas.

Karjera

Pēc maģistra grāda iegūšanas 1948. gadā Rots kļuva par pasniedzēja palīgu Londonas Universitātes koledžā un 1950. gadā viņu paaugstināja par pasniedzēju. 1961. gadā viņš kļuva par profesoru. Šajā laika posmā viņš turpināja ciešu sadarbību ar Haroldu Davenportu.

Pagājušā gadsimta 50. gadu vidū un 60. gadu vidū Rots uzņēmās sabatus Masačūsetsas Tehnoloģiju institūtā un nopietni apsvēra iespēju pārcelties uz Amerikas Savienotajām Valstīm. Valters Heimans un Patriks Linsteds neitralizēja šo apdraudējumu britu matemātikai ar piedāvājumu strādāt matemātikā Londonas Impērijas koledžā, kuru viņš pieņēma 1966. gadā. Viņš saglabāja šo pozīciju līdz oficiālā pensionēšanās vecumam 1988. gadā. Šajā koledžā viņš palikā kā viesprofesors līdz 1996. gadam.

Rota lekcijas parasti bija ļoti skaidras, taču reizēm tās varēja būt neparastas. Viņam bija maz doktorantu, bet viens no viņiem, Viljams Čens, kļuva par Austrālijas matemātikas biedrības biedru un Makvīras Universitātes matemātikas nodaļas vadītāju.

Personīgajā dzīvē

1955. gadā Rots apprecējās ar Ēģiptes senatora Kairija Pača meitu Meleku Kairiju, kura bija piesaistījusi viņa uzmanību kā studente savā pirmajā lekcijā. Kairija sāka strādāt Londonas Universitātes koledžā psiholoģijas nodaļā, kur viņa publicēja pētījumus par toksīnu ietekmi uz žurkām. Pēc Rota aiziešanas pensijā viņi pārcēlās uz Invernesu. Rots veltīja sava nama istabu latīņu dejām, kas bija viņu kopīgā interese. Kairija nomira 2002. gadā, bet Rots nomira Invernesā 2015. gada 10. novembrī 90 gadu vecumā. Viņiem nebija bērnu un Rots novēlēja lielāko daļu savu īpašumu divām veselības labdarības organizācijām, "lai palīdzētu vecāka gadagājuma cilvēkiem un slimiem cilvēkiem, kuri dzīvo Invernesas pilsētā". Viņš nosūtīja Fīldsa medaļu ar mazāku mantojumu uz Peterhousu.

Ieguldījums

Rots bija pazīstams kā problēmu risinātājs matemātikā, nevis kā teorijas veidotājs. Harolds Davenports rakstīja, ka morāle Dr. Rota darbā ir tas, ka lielās neatrisinātās matemātikas problēmas joprojām var dot tiešu uzbrukumu, lai cik sarežģītas un aizliedzošas tās būtu, un lai arī cik lielas pūles viņiem jau ir veltītas. Viņa pētnieciskās intereses aptvēra vairākas tēmas skaitļu teorijā, neatbilstību teorijā un veselu skaitļu secību teorijā.

Diofanta tuvinājums

Diofanta tuvinājuma mērķis ir precīzs iracionālu skaitļu tuvinājums ar racionāliem skaitļiem. Jautājums par to, cik precīzi varētu tuvināt algebriskos skaitļus, kļuva pazīstams kā Tues — Sigala problēma pēc Aksela Tjū un Karla Ludviga Siegala iepriekšējiem panākumiem šajā jautājumā. Aproksimācijas precizitāti var izmērīt ar skaitļa tuvinājuma eksponentu $x$, kas definēts kā lielākais skaits $e$ tāds, ka $x$ ir bezgalīgi daudz racionālu tuvinājumu $p/q$ ar $|x-p/q|<1/q^{e}$. Ja tuvināšanas eksponents ir liels, tad $x$ ir precīzāks nekā skaitlis, kura eksponents ir mazāks. Mazākais iespējamais tuvināšanas eksponents ir divi: pat visgrūtāk tuvināmos skaitļus var tuvināt ar otro eksponentu, izmantojot frakcijas ar turpinājumu. 1955. gadā Rots publicēja to, kas tagad pazīstama kā Rota teorēma, pilnībā sakārtojot šo jautājumu. Viņa teorēma falsificēja domājamo saikni starp tuvināšanas eksponentu un pakāpi un pierādīja, ka tuvināšanas eksponenta ziņā algebriskie skaitļi ir visprecīzāk tuvināti no visiem iracionālajiem skaitļiem. Precīzāk, viņš pierādīja, ka iracionāliem algebriskiem skaitļiem tuvināšanas eksponents vienmēr ir precīzi divi. Šis rezultāts tiek saukts par Rota "lielāko sasniegumu".

Aritmētiskā kombinatorika

Komplektam {1,2,4,5,10,11,13,14} (zilā krāsā) nav aritmētiskās progresijas, jo vidējais rādītājs no katriem diviem kopas elementiem (dzeltens) neietilpst komplektā. Rots pierādīja, ka katram komplektam bez progresijas jābūt izsētam.

Rota teorēmas rezultāts 1953. gadā bija pagrieziena punkts aritmetiskajā kombinatorikā. Tas attiecas uz veselu skaitļu sekvencēm, kur nevieni trīs skaitļi neveido aritmetisko progresiju. Šīs sekvences 1936. gadā izpētīja Pols Erdos un Pals Turans, uzskatot, ka tām jābūt mazām. Tomēr 1942. gadā Rafaels Salems un Donalds C. Spencers izveidoja skaitļu apakškopas bez progresēšanas no $1$ līdz $n$ proporcionali $n^{1-\varepsilon }$, katram $\varepsilon >0$.

Neatbilstības

Hammerslija komplekts, zemu neatbilstību punktu komplekts, kas iegūts no Van der Korputa secības

Lai arī Rota darbs pie diofanta tuvinājuma viņam radīja visaugstāko atzinību, tieši viņa pētījumi par izplatības neatbilstībām sniedza viņam vislielāko gandarījumu. Viņa 1954. gada raksts par šo tēmu lika pamatus mūsdienu neatbilstību teorijai. Tas attiecas uz $n$ punktu skaitu kvadrāta vienībā tā, lai katram taisnstūrim, kas robežojas starp kvadrāta sākumu un punktu, taisnstūra laukumu tuvināti aprēķinātu ar punktu skaitu tajā.

Apbalvojumi

Fīldsa medaļa

1958. gadā ieguva Fīldsa medaļu par darbu pie diofanta tuvinājuma. Viņš bija pirmais Fīldsa medaļas ieguvējs no Lielbritānijas. 1960. gadā viņš tika ievēlēts Karaliskajā biedrībā un vēlāk kļuva par Edinburgas Karaliskās biedrības goda biedru, Londonas Universitātes koledžas stipendiātu, Londonas Imperijas koledžas stipendiātu un Peterhouse goda stipendiātu. Viņu uzjautrināja tas, ka viņa Fīldsa medaļa, ievēlēšana Karaliskajā biedrībā un profesora krēsls viņam nāca apgrieztā secībā ar viņu prestižu.

Londonas matemātikas biedrība 1983. gadā Rotam piešķīra De Morgana medaļu 1991. gadā Karaliskā biedrība viņam piešķīra Silvestera madaļu par viņa daudzajiem ieguldījumiem skaitļu teorijā un jo īpaši par viņa risinājumu slavenajai problēmai, kas saistīta ar algebrisko skaitļu tuvināšanu ar racionāliem skaitļiem.

Atlasītās publikācijas

Žurnālu raksti

• Roth, K. F. (1949). "Proof that almost all positive integers are sums of a square, a positive cube and a fourth power". Journal of the London Mathematical Society. Second Series 24: 4–13. doi:10.1112/jlms/s1-24.1.4. MR 0028336.
• Roth, K. F. (1951a). "On a problem of Heilbronn". Journal of the London Mathematical Society. Second Series 26 (3): 198–204. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. MR 0041889.
• Roth, K. F. (1951b). "On the gaps between squarefree numbers". Journal of the London Mathematical Society. Second Series 26 (4): 263–268. doi:10.1112/jlms/s1-26.4.263. MR 0043119.
• Roth, K. F. (1953). "On certain sets of integers". Journal of the London Mathematical Society. Second Series 28: 104–109. doi:10.1112/jlms/s1-28.1.104. MR 0051853.
• Roth, K. F. (1954). "On irregularities of distribution". Mathematika 1 (2): 73–79. doi:10.1112/S0025579300000541. MR 0066435.
• Roth, K. F. (1955). "Rational approximations to algebraic numbers". Mathematika 2: 1–20, 168. doi:10.1112/S0025579300000644. ISSN 0025-5793. MR 0072182.
• Roth, K. F. (1965). "On the large sieves of Linnik and Rényi". Mathematika 12: 1–9. doi:10.1112/S0025579300005088. MR 0197424.
• Roth, K. F. (1976). "Developments in Heilbronn's triangle problem". Advances in Mathematics 22 (3): 364–385. doi:10.1016/0001-8708(76)90100-6. MR 0429761.
• Roth, K. F.; Vaughan, R. C. (1978). "Inefficiency in packing squares with unit squares". Journal of Combinatorial Theory. Series A 24 (2): 170–186. doi:10.1016/0097-3165(78)90005-5. MR 0487806.

Grāmatas

• Heini Halberstam, Klaus Friedrich Roth. Sequences. London : Clarendon Press, 1966.[21] Otrreiz publicēts 1983. gadā izdevniecībā Springer — Verlag.