Šrēdingera vienādojums

Šrēdingera vienādojums apraksta kvantu sistēmas stāvokļa maiņu laikā. Tas ir nosaukts par godu Ervīnam Šrēdingeram, kurš to atklāja 1926. gadā.^[1] Šrēdingera vienādojums kvantu mehānikā ir tikpat nozīmīgs kā Ņūtona likumi klasiskajā mehānikā. Šrēdingera vienādojuma analogs klasiskajā mehānikā ir Hamiltona–Jakobi vienādojums.

Šrēdingera vienādojums vispārīgā formā

Šrēdingera vienādojums ir lineārs parciālais diferenciālvienādojums. Vispārīgā formā tas izskatās šādi:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t),

kur

i ir imaginārā vienība,
$\hbar =h/2\pi$ ir reducētā Planka konstante,
$\partial /\partial t$ ir parciālais atvasinājums pēc laika,
$\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ir viļņu funkcija, kas raksturo kvantu sistēmas stāvokli un ir atkarīga no koordinātas r un laika t,
${\hat {H}}$ ir Hamiltona operators jeb hamiltoniāns, kas nosaka kvantu sistēmas stāvokļa maiņu un ir atkarīgs no iedarbības uz to.

Vispārīgā gadījumā hamiltoniāns ${\hat {H}}$ var būt atkarīgs no laika.

No laika neatkarīgais Šrēdingera vienādojums

Stacionāras fāzes var aprakstīt ar vienkāršāku Šrēdingera vienādojuma formu, ko sauc par no laika neatkarīgo Šrēdingera vienādojumu:

\operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle ,

kur $E$ ir konstante, kas atbilst sistēmas kopējai enerģijai. No šī vienādojuma var redzēt, ka $\Psi$ ir Hamiltona operatora īpašfunkcija, bet $E$ — šīs funcijas īpašvērtība.

Šrēdingera vienādojums blīvuma matricai

Kvantu sistēmas stāvokli var raksturot gan ar viļņu funkciju Ψ(r,t), gan ar blīvuma matricu ρ(r,t). Šrēdingera vienādojumu blīvuma matricai sauc par fon Neimana vienādojumu (par godu Džonam fon Neimanam). To pieraksta šādi: