Trigonometrisks vienādojums

Trigonometrisks vienādojums ir vienādojums, kurā ir trigonometriskā funkcija. Lai risinātu trigonometrisku vienādojumu, izmanto inversās trigonometriskās funkcijas.

Vienāda nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumi

Vienādība sinα = sinβ ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+2πn vai α=π-β+2πn, n∈Z;

Vienādība cosα = cosβ ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+2πn vai α=-β+2πn, n∈Z;

Vienādība tgα = tgβ ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+πn, n∈Z;

Vienādība ctgα = ctgβ ir spēkā tad un tikai tad, ja α=β+πn, n∈Z.

Vienādojuma sin x =a atrisināšana

1. Ja a<-1 vai a>1 (|a|>1), tad vienādojumam atrisinājumu nav.

2. Speciālie gadījumi:

1. ja a = -1, tad $x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z$
2. ja a = 0, tad $x=\pi n,n\in Z$
3. ja a = 1, tad $x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z$

3. Ja a∈ [-1;1]

$x={\begin{cases}arcsina+2\pi n\\\pi -arcsina+2\pi n\end{cases}}$ $,n\in Z$ jeb $x=(-1)^{k}arcsina+\pi n,n\in Z$

Ievērot, ka $-{\frac {\pi }{2}}\leq arcsina\leq {\frac {\pi }{2}}$ un $arcsin(-a)=-arcsina$

Piemērs:

$sinx={\frac {1}{2}}$

$x={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\\{\frac {5\pi }{6}}+2\pi n\end{cases}}$$,n\in Z$

Vienādojuma cos x =a atrisināšana

1. Ja a<-1 vai a>1 (|a|>1), tad vienādojumam atrisinājumu nav.

2. Speciālie gadījumi:

1. ja a = -1, tad $x=\pi +2\pi n,n\in Z$
2. ja a = 0, tad $x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in Z$
3. ja a = 1, tad $x=2\pi n,n\in Z$

3. Ja a∈ [-1;1]

$x={\begin{cases}arccosa+2\pi n\\-arccosa+2\pi n\end{cases}}$ $,n\in Z$ jeb $x=\pm arccosa+2\pi n,n\in Z$

Ievērot, ka $0\leq arccosa\leq \pi$ un $arccos(-a)=\pi -arccosa$

Piemērs:

$cosx={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

$x=\pm {\frac {\pi }{4}}+2\pi n,n\in Z$

Vienādojumu tg x = a un ctg x =a atrisināšana

Vienādojumiem tg x = a un ctg x =a ir atrisinājums ar jebkuru reālu a vērtību. Šo vienādojumu atrisinājumi ir šādi:

$x=arctga+\pi n,n\in Z$

$x=arcctga+\pi n,n\in Z$

Ievērot, ka

1. $-{\frac {\pi }{2}}<arctga<{\frac {\pi }{2}}$ un $arctg(-a)=-arctga$
2. $0<arcctga<\pi$ un $arcctg(-a)=\pi -arcctga$

Piemēri:

1) $tgx=1$

$x={\frac {\pi }{4}}+\pi n,n\in Z$

2) $ctgx={\sqrt {3}}$

$x={\frac {\pi }{6}}+\pi n,n\in Z$

Raksturīgākie trigonometrisko vienādojumu veidi, to atrisināšana

1. veids. Vienādojumi, kurus risina, pārveidojot par kvadrātvienādojumiem un izmantojot substitūciju.

Atrisina, izmantojot pamatidentitātes vai divkāršā argumenta formulas. Jāpāriet uz viena nosaukuma funkciju no viena un tā paša argumenta, piemēram,

1. $Asin^{2}z+Bcosz+C=0;sin^{2}z=1-cos^{2}z;cosz=t$
2. $Atgz+Bctgz+C=0;ctgz={\frac {1}{tgz}};tgz=t$
3. $Acos2z+Bsinz+C=0;cos2z=1-2sin^{2}z;sinz=t$

2. veids. Lineāra vienādojuma $Acosz+Bsinz=C$ atrisināšana.

Šos vienādojumus var atrisināt divejādi:

1. izmantojot palīgargumentu un pāriet uz vienādojumu

$cos(z+\phi )={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},$ kur

$cos\phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$ un $sin\phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$;

1. izmantojot pusargumenta tangensa formulas. Šādā gadījumā pēc iegūtā kvadrātvienādojuma atrisināšanas jāpārbauda, vai dotā vienādojuma atrisinājums nav tās argumenta vērtības, ar kurām pusargumenta tangenss nav definēts.

3. veids. Homogēna vienādojuma $Asin^{2}z+Bsinz\cdot cosz+Ccos^{2}z=D$atrisināšana.

Vispirms skaitlis $D$ jāaizstāj ar izteiksmi $Dsin^{2}z+Dcos^{2}z$ un jāsavelk līdzīgie locekļi, tad vienādojumu drīkst dalīt ar $cos^{2}z$ un risināt kvadrātvienādojumu attiecībā uz $tgz$. Ja $A-D=0$, tad $cosz$ var paņemt pirms iekavām un katru no reizinātājiem pielīdzināt nullei.

4. veids. Reizinājuma vienādība ar nulli.

Šeit izmanto kā pazīstamos paņēmienus, t.i., kopīgā reizinātāja ņemšanu pirms iekavām, grupēšanas paņēmienu, tā arī trigonometrisko funkciju summas pārveidošanu reizinājumā. Jāievēro, ka reizinājums ir vienāds ar 0 tad un tikai tad, ja viens no reizinātājiem ir 0, bet pārējiem reizinātājiem ar šo vērtību ir jēga. Risinot vienādojumus, kuri nav definēti ar visām argumenta vērtībām, atrisinājumu kopa, kā arī vērtības, ar kurām vienādojumam nav jēgas, ir jāattēlo uz TRL vai koordinātu ass viena perioda virzienā.

5. veids. Vienādojumi, kuru pakāpi var pazemināt.

Pēc attiecīgo formulu izmantošanas vienādojums reducējas uz kādu no iepriekšaplūkotiem variantiem.

Skatīt arī

• trigonometriska nevienādība