Koriolisa spēks

Koriolisa spēks ir šķietamais spēks^[1], kas darbojas no novērotāja skatpunkta, kurš atrodas rotējošā atskaites sistēmā attiecībā pret konstanta ātruma atskaites sistēmu. Ja rotējošā atskaites sistēma rotē pa pulksteni, tad Koriolisa spēks darbojas perpendikulāri un pa kreisi no ķermeņa kustības virziena. Ja rotējošā atskaites sistēma rotē pret pulksteni, tad Koriolisa spēks darbojas perpendikulāri un pa labi no ķermeņa kustības virziena.^[2]

Augšējā attēlā ķermenis pārvietojas ar konstantu ātrumu uz leju, bet no rotējošā skatpunkta ķermenis veic lokveida kustību

Koriolisa spēku var novērot uz Zemes, ka novērotājiem uz Zemes ir jāņem vērā Koriolisa spēks. To ņem vērā artilērijas trajektorijas aprēķināšanā, meteoroloģijā. Koriolisa spēku izmanto Koriolisa masas plūsmas mērītājos, ar kuru palīdzību var izmērīt masas plūsmu un blīvumu šķidrumam, kas plūst caur cauruli. Demonstratīvi Zemes rotācijas radīto Koriolisa spēku var redzēt Fuko svārstā.

Vēsture

19. gadsimta sākumā franču zinātnieks Gaspārs Gustavs de Korioliss pierādīja, ka jebkurš priekšmets, kas kustas gar zemes virsmu ziemeļu puslodē, novirzās pa labi no sākotnējās trajektorijas, bet dienvidu puslodē — pa kreisi. Tas ir saistīts ar Zemes griešanos.^[3]

Apraksts

Ilustrācija kā vētras viesulis veidojas Koriolisa spēka iespaidā. Spiediena gradients ir vērsts uz vētras centru (zilās biltas). Tuvojoties vētras centram gaiss uzņem ātrumu un Koriolisa spēks (sarkanās bultas) un spiedienu starpības radītais spēks kopā ar gaisa ātrumu izbalansējas tā, lai veidotos apļveida forma.

Ņūtona likumi apraksta ķermeņu kustību inerciālā atskaites sistēmā (koordinātu sistēma nerotē un nepaātrinās). Ja Ņūtona likumus transformē priekš rotējošas atskaites sistēmas, tad Koriolisa spēks un centrbēdzes spēki parādās. Koriolisa spēks ir proporcionāls rotācijas ātrumam un centrbēdzes spēks ir proporcionāls rotācijas ātruma kvadrātam. Koriolisa spēks darbojas perpendikulāri leņķiskā ātruma vektoram un ātruma vektoram rotējošajā atskaites sistēmā. Centrbēdzes spēks ir vērsts prom no rotācijas ass. Šos spēkus sauc par šķietamiem spēkiem vai inerces spēkiem, jo tie rodas caur koordinātu sistēmu maiņu, kuru transformācija rada paātrinājumu.Tomēr ieviešot šos šķietamos spēkus rotējošai atskaites sistēmai, Ņūtona likumus atkal var izmantot it kā atskaites sistēma būtu inerciāla.

Formula

Ņūtona mehānikā kustības vienādojums inerciālā atskaites sistēmā ir:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ , kur ${\vec {F}}$ ir visu spēku summa, kas iedarbojas uz ķermeni, $m$ ir ķermeņa masa un ${\vec {a}}$ ir ķermeņa paātrinājums inerciālajā atskaites sistēmā.

Transformējot šo kustības vienātojumu rotējošā atskaites sistēmā ar nemainīgu rotācijas asi iegūst:

${\vec {F}}'={\vec {F}}-m{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')=m{\vec {a}}'$ ^[4], kur pēdiņa (') norāda koordinātas rotējošajā atskaites sistēmā (nevis atvasinājumu) un:

${\vec {F}}$ ir visu fizikāļo spēku summa, kas darbojas uz ķermeni, ${\vec {\omega }}$ ir sistēmas leņķiskais ātrums rotējošajai atskaites sistēmai no inerciālās atskaites sistēmas, ${\vec {r}}'$ ir ķermeņa pozīcijas rotējošajā atskaites sistēmā, ${\vec {v}}'$ ir ķermeņa ātrums rotējošajā atskaites sistēmā, ${\vec {a}}'$ ir paātrinājums rotējošajā atskaites sistēmā.

Šos spēkus iedala:

Eilera spēkā: $-m{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'$
Koriolisa spēkā: $-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$
Centrbēdzes spēkā: $-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')$

Šajā pārveidotājā spēka formulā var redzēt, ka Eilera un centrbēdzes spēki ir atkarīgi no ķermeņa pozīcijas rotējošajā atskaites sistēmā ${\vec {r}}'$ , bet Koriolisa spēks ir atkarīgs no ķermeņa ātruma rotējošajā atskaites sistēmā ${\vec {v}}'$ .

Izvedums

Izvedumā apskatītā situācija: kā pāriet no spēka, kas izteikts inerciālā atskaites sistēmā S(animācijā stacionārā) uz rotējošu atskaites sistēmu S'.

Apskatīsim materiāla punkta kustības vienādojumu, kuras atrašanās vietu apzīmē ar vektoru ${\vec {b}}$ . Pierakstām to Dekarta koordinātu sistēmā:

${\vec {b}}=b_{x}\cdot {\vec {e}}_{x}+b_{y}\cdot {\vec {e}}_{y}+b_{z}\cdot {\vec {e}}_{z}$ . Atvasinām šo vektoru inerciālajā atskaites sistēmā, lai iegūtu ātruma vektoru: ${\frac {d{\vec {b}}}{dt}}|_{I}=\left({\frac {db_{x}}{dt}}\cdot {\vec {e}}_{x}+{\frac {db_{y}}{dt}}\cdot {\vec {e}}_{y}+{\frac {db_{z}}{dt}}\cdot {\vec {e}}_{z}\right)+\left(b_{x}\cdot {\frac {d{\vec {e}}_{x}}{dt}}+b_{y}\cdot {\frac {d{\vec {e}}_{y}}{dt}}+b_{z}\cdot {\frac {d{\vec {e}}_{z}}{dt}}\right)$ , kur $|_{I}$ norāda inerciālo atskaites sistēmu. Ņemot vērā to, ka no rotējošās atskaites sistēmas skatpunkta bāzes vektori laikā nemainās un ņemot vērā ātruma saistību ar leņķisko ātrumu ${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$ iegūst:

${\frac {d{\vec {b}}}{dt}}|_{I}={\frac {d{\vec {b}}}{dt}}|_{R}+\left(b_{x}\cdot \omega \times {\vec {e}}_{x}+b_{y}\cdot \omega \times {\vec {e}}_{y}+b_{z}\cdot \omega \times {\vec {e}}_{z}\right)|_{R}={\frac {d{\vec {b}}}{dt}}|_{R}+{\vec {\omega }}\times {\vec {b}}|_{R}$ , kur $|_{R}$ norāda rotācijas atskaites sistēmu. Tagad atvasinām vēlreiz, lai iegūtu paātrinājuma vektoru: ${\frac {d^{2}{\vec {b}}}{dt^{2}}}|_{I}=\left({\frac {d^{2}b_{x}}{dt^{2}}}\cdot {\vec {e}}_{x}+{\frac {d^{2}b_{y}}{dt^{2}}}\cdot {\vec {e}}_{y}+{\frac {d^{2}b_{z}}{dt^{2}}}\cdot {\vec {e}}_{z}\right)+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {b}}+2\left({\frac {db_{x}}{dt}}\cdot {\frac {d{\vec {e}}_{x}}{dt}}+{\frac {db_{y}}{dt}}\cdot {\frac {d{\vec {e}}_{y}}{dt}}+{\frac {db_{z}}{dt}}\cdot {\frac {d{\vec {e}}_{z}}{dt}}\right)+\left(b_{x}\cdot {\frac {d^{2}{\vec {e}}_{x}}{dt^{2}}}+b_{y}\cdot {\frac {d^{2}{\vec {e}}_{y}}{dt^{2}}}+b_{z}\cdot {\frac {d^{2}{\vec {e}}_{z}}{dt^{2}}}\right)$

${\frac {d^{2}{\vec {b}}}{dt^{2}}}|_{I}={\frac {d^{2}{\vec {b}}}{dt^{2}}}|_{R}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {b}}|_{R}+2{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {b}}}{dt}}|_{R}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {b}})|_{R}$ . Apzīmējot vektorus ar (') kad tie ir rotējošajā atskaites sistēmā, pareizinot abas puses ar masu iegūst un pozīcijas atvasinājumus apzīmējot ar ātruma vektoru ${\vec {v}}$ un paātrinājumu ar vektoru ${\vec {a}}$ :

$m\cdot {\vec {a}}=m\cdot {\vec {a}}'+m{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {b}}'+2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {b}}')$ . Apzīmējot $m\cdot {\vec {a}}$ kā spēku ${\vec {F}}$ un pārkārtojot iegūst: ${\vec {F}}'={\vec {F}}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {b}}'-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {b}}')$ ^[4], kas ir meklētā formula. Šajā formulā saskaitāmo $-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$ sauc par Koriolisa spēku.