Perfekti skaitļi

Definīcija

Skaitļu teorijā perfekts skaitlis ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir vienāds ar tā pozitīvo īsto dalītāju summu, tas ir, dalītāji, izņemot pašu skaitli. [2]

Piemēri

Skaitli 6 bez atlikuma var dalīt ar 1, 2 un 3 (neskaitiet skaitli 6).

Dalītāju summa ir = 1 + 2 + 3 = 6.

Tāpēc skaitlis 6 ir ideāls skaitlis.

Ko tālāl

Starp 0 un 100 ir tikai vēl viens ideāls skaitlis: 28.

28 => 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (neskaitiet skaitli 28) = 28. Izmēģiniet skaitli 10 => 1, 2, 5 => 8.

Skaitlis 10 nav perfekts.

Dodieties līdz 10000, un jūs atradīsiet nākamos 2 ideālos skaitļus: 496 un 8128.

Šie 4 skaitļi bija vienīgie ideālie skaitļi, ko senie grieķi zināja ap 300. gadu p.m.ē.

Kas ir kopīgs visos šajos skaitļos?

6 28 496 8128

1) Katrs nākamais ir par vienu ciparu vairāk. 2) Pēdējie cipari mainās starp vērtībām 6 un 8. 3) Visi šie skaitļi ir pāra.

Bet paskatīsimies, ko vēl mēs varam atrast?

Skatiet, cik tas ir pārsteidzoši: tie visi ir līdzīgu secīgu skaitļu secību summa:

6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 30 + 31 8128 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 30 + 31 + ... + 126 + 127

Bet kas ir vēl interesantāks: visi, izņemot 6, ir nepāra kubu summa:

<math>28 = 1^3 + 3^3 496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 8128 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + ... + 15^3</math>

Bet tas, kas jūs satriektu, ir tas, ka, ierakstot tos binārā kodā:

<math>6 = 110 = 2^2 + 2^1 28 = 11100 = 2^4 + 2^3 + 2^2 496 = 111110000 = 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 8128 = 1111111000000 = 2^12 + 2^11 + 2^10 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6</math>

un, kā redzat, tās ir secīgas jaudas skaitļa 2.

Eiklīda algoritms

Apmēram 300. gadu pirms mūsu ēras Eiklīds pamanīja rakstu:

a) Paņemiet skaitli 1 un dubultojiet to. Jums ir 2. Tagad turpiniet tos dubultot. Jums bus šāda secība:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... un tā tālāk.

b) Tagad, sākot no 1, pievienojiet tam nākamo skaitli:

1 + 2 = 3

ja tas beidzas ar pirmskaitļu, jūs to reiziniet ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 2):

3 x 2 = 6 - pirmais ideālais skaitlis!

c) Tagad turpināsim to darīt:

1 + 2 + 4 = 7, kas atkal ir pirmskaitlis.

Reizinot to ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 4):

7 x 4 = 28 - otrais ideālais skaitlis!

d) Nākamais solis sniedz mums:

1 + 2 + 4 + 8 = 15, kas nav pirmskaitlis, tāpēc mēs turpinām:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, kas atkal ir pirmskaitlis.

Reizinot to ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 16):

31 x 16 = 496 - trešais ideālais skaitlis!

Tagad varat turpināt to darīt, lai atrastu arvien lielākus perfektus skaitļus.

Bet mēs varam arī uzrakstīt, ka:

<math>6 = (1 + 2) * 2^1 = (2^2 - 1) * 2^1

28 = (1 + 2 + 4) * 2^2 = (2^3 - 1) * 2^2

496 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) * 2^4 = (2^5 - 1) * 2^4</math>

. . . . .

Saskaņā ar šo pieeju Eiklīds secināja, kā:

  Perfekts skaitlis = <math>(2^p - 1) * 2^(p-1), ja 2^(p - 1)</math> ir pirmskaitlis.

Un šeit mēs nonākam pie ceturtā vispārīgā secinājuma par ideālajiem skaitļiem:

4) Tā kā jūs to reizini ar <math>2^(p-1)</math>, kas vienmēr ir pāra, arī visiem perfektajiem skaitļiem vienmēr jābūt pāriem.

Pēdējais vispārīgais secinājums ir šāds:

5) Perfekto skaitļu skaits ir bezgalīgs.

Nākamais atklājums

1230. gadā matemātika Ibn Falluss publicēja pirmo 10 ideālo skaitļu sarakstu:

p | <math>(2^p - 1) * 2^(p-1)<math>

---

2 | 6

3 | 28

5 | 496

7 | 8128

9 | 130816

11 | 2096128

13 | 33550336

17 | 8589869056

19 | 137438691328

23 | 35184367894528

Piemēram:

<math>p = 19 => (2^19 - 1) * 2^(19-1) = 524287 x 262144 = 137438691328.</math>

Bet vēlāk izrādījās, ka trīs viņa ideālie skaitļi:

9 | 130816

11 | 2096128

23 | 35184367894528

tie nekad nav bijuši ideāli skaitļi! Bet atlikušie tomēr ir:

No | p | <math>(2^p - 1) * 2^(p-1)</math>

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 | 2 | 6

2 | 3 | 28

3 | 5 | 496

4 | 7 | 8128

5 | 13 | 33550336

6 | 17 | 8589869056

7 | 19 | 137438691328

Šis rezultāts noraida divus pirmos iepriekšējos vispārīgos apgalvojumus:

1) Katrs nākamais ir par vienu ciparu vairāk -> no 4. līdz 5.: no 4 cipariem līdz 8 cipariem. 2) Las cipari ir pārmaiņus starp 6 un 8 -> no 5. līdz 6.

Daudzus gadsimtus liela grupa slavenu pasaules matemātiku neveiksmīgi mēģināja atrast vēl vienu perfektu skaitli. Un tikai 1903. gada 31. oktobrī Frenks Nelsons Kols [3] sniedza prezentāciju Amerikas Matemātikas biedrībai. Ne vārda nesakot, viņš uzrakstīja uz vienas tāfeles puses:

<math>2^67 — 1 = 147573952589676412927</math>

Tad viņš pārcēlās uz tāfeles otru pusi un rakstīja:

193707721 * 761838257287 = 147573952589676412927

Viņš apsēdās ne vārda neteicis un publika sajūsminājās! Viņš vēlu atzina, ka viņam bija vajadzīgi trīs gadi svētdienās, lai atrisinātu šo problēmu.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

JavaScript funkcija, lai noskaidrotu, vai dotais skaitlis ir perfekts skaitlis

const irPerfektaSkaitlis = (n) => {

//////////////[ PĀRBAUDE ]//////////////

// Ja ievadītais skaitlis nav vesels, vai nav pozitīvs

if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {

  return "Lūdzu, norādiet derīgu pozitīvu veselu skaitli!";

}

// Sāciet ar 1, jo visiem skaitļiem ir 1 kā dalītājs let sum = 1;

// Veiciet cilpu, lai atrastu visus dalītājus un aprēķinātu summu for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {

  if (n % i === 0) { 
     sum += i;
     if (i !== n / i) {
        sum += n / i;
     }
  }

}

// Pārbaudiet, vai dalītāju summa ir vienāda ar sākotnējo skaitli

const irPerfekts = sum === n;

// Izvadiet rezultātu

if (irPerfekts) {

  return `${n} ir perfekts skaitlis.`;

} else {

  return `${n} nav perfekts skaitlis.`;

}

};

//////////////////////////////////////

// 1. piemērs irPerfektaSkaitlis(28);

// 2. piemērs

irPerfektaSkaitlis(13);

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Atsauces: [ 1 ] - https://www.youtube.com/watch?v=Zrv1EDIqHkY [ 2 ] - https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number [ 3 ] - https://en.wikipedia.org/wiki/Frank_Nelson_Cole

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -