Lagranža teorēma

Lagranža teorēma apgalvo, ka, ja funkcija $f$ ir nepārtraukta nogriežņa intervālā $[a;b]$ un diferencējamā intervālā $(a;b)$, tad eksistē tāds punkts $c\in (a;b)$, ka

Ja $f$ ir nepārtraukta un diferencējama jebkur intervālā $(a;b)$, tad pastāv tāds $c$, ka šī punkta atvasinājuma taisne būs paralēla sekantes taisnei, kas savieno punktus $a$ un $b$

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$.

Mehāniski to var definēt kā lai $f(t)$- punkta attālums momentā $t$ no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a)$f(b)-f(a)$ ir attālums no momenta $t=a$ līdz momentam $t=b$. Attiecība ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā $t\in (a,b)$, tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

Pierādījums

Funkcijai ar vienu mainīgo:

Ievadām funkciju $F(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$. Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts $c$, kurā funkcijas $F$ atvasinājums ir vienāds ar nulli:

$f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\Leftrightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c),$

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$, kreiso pusi apzīmējam kā $\Delta y$, bet labajā pusē faktoru $(b-a)$ apzīmējam ar $\Delta x$, tad mēs iegūsim formulu: $\Delta y=f'(c)\Delta x$

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

$dy=f'(x)dx$

Pielikums

• Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojums

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

Pierādījums. Visiem $x$ un $y$ piemīt punkts $c$, tāda kas $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0$.

Tātad pie visiem $x$ un $y$ būs patiesā vineādība kur $f(y)=f(x)$.

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija $f(x)$ pieaug/dilst nogrieznī $[a,b]$ tikai tad, kad tās $f'(x)$ atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

• No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad $n=1$ iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{(n-1)}(x){\frac {h^{n-1}}{(n-1)!}}+f^{(n)}(x+\theta h){\frac {h^{n}}{n!}}$

• Ja funkcija ar $n$ mainīgiem $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}$

Pierādījums priekš $n=2$. Piefiksēsim vienību $\Delta x$ un $\Delta y$ un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

$\Delta _{x}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}$ un $\Delta _{y}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}$

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0$\theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)$, tādi ka: $\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2}\Delta y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)$

Pie $(\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0$ nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu $f(x,y)$.

Analoģiski pierādās, ka $\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)$.

Bet tā kā $\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)$, tad tās robežas sakrīt.