Lagranža teorēma

Lagranža teorēma apgalvo, ka, ja funkcija ir nepārtraukta nogriežņa intervālā un diferencējamā intervālā , tad eksistē tāds punkts , ka

.

Mehāniski to var definēt kā lai - punkta attālums momentā no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a) ir attālums no momenta līdz momentam . Attiecība – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā , tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

PierādījumsLabot

Funkcijai ar vienu mainīgo:

Ievadām funkciju  . Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts  , kurā funkcijas   atvasinājums ir vienāds ar nulli:

 

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumiLabot

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā  , kreiso pusi apzīmējam kā  , bet labajā pusē faktoru   apzīmējam ar  , tad mēs iegūsim formulu:  

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

 

PielikumsLabot

  • Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojumsLabot

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

Pierādījums. Visiem   un   piemīt punkts  , tāda kas  .

Tātad pie visiem   un   būs patiesā vineādība kur  .

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija   pieaug/dilst nogrieznī   tikai tad, kad tās   atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

  • No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad   iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu.  
  • Ja funkcija ar   mainīgiem   divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

 

Pierādījums priekš  . Piefiksēsim vienību   un   un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

  un  

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0 , tādi ka:  

Pie   nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu  .

Analoģiski pierādās, ka  .

Bet tā kā  , tad tās robežas sakrīt.

AtsaucesLabot