Arbeloss

Arbeloss - ģeometriska figūra, kas sastāv no riņķa puses, uz kuras atrodas vēl mazāku riņķu puses.

Uz lielā riņķa diametra atrodas punkti A, B un C tā ka AB, un BC ir mazāku pusriņķu diametri.

Īpašības

Laukuma aprēķināšana

Riņķa ar diametru HA laukums ir vienāds ar arbelosa laukumu.

Ja BC = 1 un BA = r, tad

• Trijstūrī BHA: $r^{2}+h^{2}=x^{2}$
• Trijstūrī CHA: $(1-r)^{2}+h^{2}=y^{2}$
• Trijstūrī BHC: $x^{2}+y^{2}=1$

Tātad $y^{2}=(1-r)^{2}+x^{2}-r^{2}$ un $y^{2}=1-2r+x^{2}$. No tā seko ka

$x={\sqrt {r}}$

$y={\sqrt {1-r}}$

$h={\sqrt {r-r^{2}}}$

Rādiuss riņķim ar centru O ir:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {r-r^{2}}}.$

Šī riņķa laukums:

$S_{rinka}=\pi \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {r-r^{2}}}\right)^{2}$

$S_{rinka}={\frac {\pi r}{4}}-{\frac {\pi r^{2}}{4}}$

Lai aprēķinātu arbelosa laukumu, no lielā pusriņķa laukuma jāatņem abu mazo pusriņķu laukumi. Arbelosa laukums:

$S_{arbelosa}={\frac {\pi }{8}}-\left({\frac {\pi }{2}}\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}+{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1-r}{2}}\right)^{2}\right)$

$S_{arbelosa}={\frac {\pi -\pi r^{2}-\pi +2\pi r-\pi r^{2}}{8}}$

$S_{arbelosa}={\frac {\pi r}{4}}-{\frac {\pi r^{2}}{4}}=S_{rinka}$