Centrtieces spēks

Centrtieces spēks

Centrtieces spēks ir spēks, kurš liek ķermenim kustēties pa liektu trajektoriju. Šis spēks vienmēr ir virzīts perpendikulāri ķermeņa ātruma vektoram uz fiksētu punktu, kurš šajā brīdī ir trajektorijas liekuma centrs. Bez šī spēka ķermenis saskaņā ar inerces jeb Pirmo Ņūtona likumu vienmērīgi pārvietotos šībrīža ātruma vektora virzienā (t. i. pa trajektorijas pieskari), līdzīgi, piemēram, dzirkstelēm, kuras ir atdalījušās no slīpripas.

Centrtieces spēks ir vienāds lielums jebkurā atskaites sistēmā. Ar to tas atšķiras no šķietamajiem spēkiem (piemēram, centrbēdzes spēka), kuri jāņem vērā tikai aprakstot kustību paātrinātajā atskaites sistēmā.

Matemātiski centrtieces spēku pirmo reizi aprakstīja 1659. gadā Nīderlandes fiziķis Kristiāns Heigenss.

FormulasLabot

Ja objekts ar masu   kustas ar tangenciālo ātrumu   pa trajektoriju ar liekuma rādiusu  , tad centrtieces spēkam, kas iedarbojas uz šo objektu, ir sekojošs lielums:

 

kur   ir centrtieces paātrinājums. Spēka virziens - uz riņķa centru, pa kuru objekts kustas, vai, ja visai trajektorijai nav riņķa forma, tad uz riņķa centru, kas pieskaras trajektorijai šajā vietā un vislabāk atbilst tās formai.

Centrtieces spēku var izteikt arī ar objekta leņķisko ātrumu   ap riņķa centru:

 

Rotējot ar vienmērīgu leņķisko ātrumu  , vienam pilnam apgriezienam tiek patērēts laiks  . Tāpēc spēku var izteikt arī ar viena apgrieziena periodu  :

 

PiemēriLabot

  • Zeme riņķo ap Sauli pa riņķa trajektoriju (aptuveni). Šo riņķa kustību izraisa gravitācijas spēks, ar kuru Saule iedarbojas uz Zemi. Šajā gadījumā centrtieces spēks ir gravitācijas spēks.
  • Elektroniem pārvietojoties perpendikulāri vienmērīgam magnētiskajam laukam, Lorenca spēks novirza tos pa riņķa trajektoriju perpendikulāri to kustības un magnētiskā lauka virzienam. Tātad, šajā piemērā centrtieces spēks ir Lorenca spēks.
  • Ja auto brauc līkumā, tad tas ir iespējams tikai tāpēc, ka uz to iedarbojas uz līkuma centru virzīts centrtieces spēks. Šis spēks rodas saķerē starp riepām un ceļa segumu. Ja šī spēka nav (piemēram, apledojuma dēļ), auto pārvietojas pa taisnu līniju un pamet līkumu. Automobiļa pasažieris seko tai pašai riņķa trajektorijai, jo uz viņu ar centrtieces spēku iedarbojas sēdeklis.
  • Gaisa virpuļos centrtieces spēks ir spiediena gradients, jo virpuļa vidū pastāv retinājums.
  • Griežot lingu, centrtieces spēks ir lingas stiepes spēks.

Centrtieces paātrinājumsLabot

Saskaņā ar Otro Ņūtona likumu, centrtieces paātrinājums ir centrtieces spēks, dalīts ar masu.

 .

AtvasināšanaLabot

Vektoriska atvasināšanaLabot

 
Punkts   kustas pa riņķa trajektoriju. Laika brīžos   un   tas atrodas   un  . Ātruma vektori   un   rāda kustības virziena izmaiņas.

Objektam kustoties ar nemainīgu ātrumu   pa riņķa trajektoriju, tā ātrums katrā brīdī ir perpendikulārs riņķa rādiusam  . Zīmējumā blakus parādīti ātruma vektori brīžos   un  . Vispirms šīs sakarības var aplūkot tīri ģeometriski: zilā bulta   ir bultas   paralēlās pārneses rezultāts. Tās vektora garums atbilst bultas   garumam. Triju bultu garumi ir saistīti sekojoši:

 

No šejienes seko trīsstūru   un   līdzība ar sekojošām proporcijām:

 

jeb

 .

Dalot abās puses ar laika intervālu  :

  .

Izvēloties pietiekami mazu  , var nodefinēt:

  • Objekta noietais ceļš   atbilst riņķa trajektorijas nogrieznim. Līdz ar to ātrums   ir objekta ātrums pa trajektoriju.
  • Paātrinājums   ir centrtieces paātrinājums virzienā uz riņķa centru, kas iedarbojas uz objektu.

Maziem laika intervāliem   vienādojums   iegūst sekojošu formu:

 

jeb

 .

Ja objekts ir ne tikai punkts, bet tam ir arī masa  , tad atbilstoši otrajam Ņūtona likumam centrtieces spēka vektora lielumu   var noteikti sekojoši:

 

Šis centrtieces spēks iedarbojas uz jebkuru ķermeni ar masu  , kurš kustas ar ātrumu   pa riņķa trajektoriju ar rādiusu  .

Ja masa griežas ar leņķisko ātrumu   ap nekustīgu centru, trajektorijas ātrumu   var aizstāt ar  . No šejienes seko:

 

un

 .

Atvasināšana pamatojoties uz Ņūtona likumiemLabot

 
Centrtieces spēks "pārvieto" ķermeni no punkta   uz punktu  

Saskaņā ar Pirmo Ņūtona likumu, ķermenis, uz kuru neiedarbojas ārējais spēks, saglabā miera vai vienmērīgas taisnvirziena kustības stāvokli. Šādas inerces kustības trajektorija ir parādīta zīmējumā ar punktēto līniju. Šajā gadījumā, novērojot kustību sakot no punkta  , pēc laika   tas atrastos punktā  . Turpretī, pārvietojoties pa liektu trajektoriju ar rādiusu  , pēc laika   tas atrodas punktā  . Ja ķermenis ir pametis inerciālā miera stāvokli (t. i. punktēto līniju), tad, saskaņā ar Pirmo Ņūtona likumu, uz to iedarbojas ārējais spēks, un saskaņā ar Otro Ņūtona likumu tas izjūt paātrinājumu  .

Salīdzinot inerciālo un neinerciālo trajektoriju, var secināt, ka ārējais spēks ir piespiedis ķermeni pārvietoties no punkta   uz punktu  , mērojot ceļu  . Aplūkosim trīsstūri  . Šajā trīsstūrī:

 .


(Labākai pārskatamībai zīmējumā ir parādīta situācija ar lielu leņķi  , pie kura punkti   un   neatrastos precīzi uz vienas radiālās līnijas. Bet šo punktu atrašanās uz vienas radiālās līnijas tiek nodrošināta zemāk aprēķinos, samazinot   līdz bezgalīgi mazam lielumam.)
 
Radiālās pārvietošanās ceļu   var izteikt tikai ar paātrinājumu, jo gan sākotnējā koordināta, gan sākotnējais radiālais ātrums ir nulle:

 .


No leņķiskā ātruma definējuma   izriet  .
Aizstājot attiecīgos lielumus pirmajā izteiksmē:  
 
jeb

 

Samazinot laiku   (un līdz ar to arī leņķi  ) līdz bezgalībai, šī izteiksme tiecas līdz robežai  

Šo robežu var atrast, divreiz pielietojot Lopitāla metodi:

 


 
Vēlreiz pielietojot Otro Ņūtona likumu:  .

Diferenciālā atvasināšanaLabot

 
Rādiusvektors un tā komponenti, t. i. projekcijas uz Dekārta koordinātu asīm

Vēl vienkāršāk centrtieces paātrinājumu (un līdz ar to arī spēku) var atvasināt, diferencējot rādiusvektoru attiecībā uz laiku. Divās dimensijās rādiusvektoru   ar garumu   un leņķi   pret x asi var izteikt Dekarta koordinātās, izmantojot vienības vektorus   un  .

 

Aplūkosim vienmērīgu rotāciju, t. i. kustību tikai riņķī ar nemainīgu rādiusu   un nemainīgu leņķisko ātrumu  . Tāpēc  , kur   ir laiks.

Diferencējot rādiusvektoru attiecībā uz laiku, tiek iegūti kustības ātrums   un paātrinājums  .

 
 
 
 

Divi lielumi ārējās iekavās ir vektora   projekcijas uz divām Dekarta koordinātu asīm, tātad visa izteiksmē iekavās - pats vektors   plaknē. Līdz ar to,

 

Negatīva zīme izsaka, ka paātrinājums virzīts riņķa centrā (pretēji rādiusa vektoram). Tā kā centrtieces spēka un paātrinājuma vektoru virzieni ir zināmi, tos var izteikt arī skalārā veidā: :      un      .