Strāvas nepārtrauktības vienādojums

Šis raksts ir par strāvas nepārtrauktību. Par pilnās strāvas nepārtrauktību skatīt rakstu Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums.

Strāvas nepārtrauktības vienādojums ir

$-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\operatorname {div} {\vec {j}}\$

kur

$\partial \rho \$ - strāvas blīvuma izmaiņa

$\partial t\$ - laiks, kurā notiek strāvas blīvuma izmaiņa

${\vec {j}}\$ - elektriskās strāvas tilpuma blīvums

Strāvas nepārtrauktības vienādojuma pierādījums

Strāvas nepārtrauktības vienādojumu pareizina ar bezgalīgi mazu tilpumu.

$-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\operatorname {div} {\vec {j}}\$ reizina ar $\mathrm {d} V\$

Tādā gadījumā iegūst šādu vienādojumu

$-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\mathrm {d} V=\operatorname {div} {\vec {j}}\mathrm {d} V\$

Abas vienādojuma puses nointegrē pēc tilpuma

$-\int _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\mathrm {d} V=\int _{V}\operatorname {div} {\vec {j}}\mathrm {d} V\$

Labā vienādojuma puse ir iespējams pārveidot, izmantojot Ostrogradska—Gausa teorēmu

$\int _{V}\operatorname {div} {\vec {j}}\mathrm {d} V=\oint _{S}{\vec {j}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$

Savukārt

$\oint _{S}{\vec {j}}\mathrm {d} {\vec {S}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \mathrm {d} V\$

No tā visa izriet:

$-\int _{V}{\frac {\rho }{t}}\mathrm {d} V=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \mathrm {d} V\$

Redzam, ka abas vienādojuma puses ir vienādas un līdz ar to esam pierādījuši vienādojuma pareizību.

Strāvas nepārtrauktības vienādojuma fizikālā interpretācija

Lādiņnesēju plūsma veido strāvas lauku. Strāvas līniju pieskares vektors ir strāvas blīvums ${\vec {j}}\$. Ja kādā punktā $\operatorname {div} {\vec {j}}\neq 0\$, tad tajā ir strāvas lauka avots, t.i., šajā punktā "sākas" vai "beidzas" strāvas līnijas. Kā redzams no nepārtrauktības vienādojuma, šajos punktos lādiņa tilpuma blīvums mainās laikā. Tā tas ir tāpēc, ka pastāv lādiņa nezūdamības likums un lādiņa blīvuma maiņa nozīmē lādiņnesēju plūsmas "rašanos" vai "izbeigšanos".

Strāvas nepārtrauktības vienādojums telpā

Ja apgabalā $V\$ lādiņu tilpuma blīvums $\rho \$ ir konstants vai arī tas ir vienāds ar nulli, tad

$\operatorname {div} {\vec {j}}=0\$

un strāvas līnijām tilpumā $V\$ avotu nav: vai nu tie atrodas ārpus tā, vai arī strāvas līnijas ir noslēgtas. Ja apgabals $V\$ ir visa bezgalīgā telpa, tad no nosacījuma $\operatorname {div} {\vec {j}}=0\$ izriet, ka strāvas līnijas tajā ir noslēgtas, bet strāvas lauks - solenoidāls. Tādas, piemēram, ir virsmas strāvas, kuras plūst supravadītājos.

Strāvas nepārtrauktības vienādojums Dekarta koordinātās

Strāvas nepārtrauktības vienādojums ir parciāls diferenciālvienādojums; Dekarta koordinātās

$-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial j_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial j_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial j_{z}}{\partial z}}\$