Piramīda

Šis raksts ir par ģeometrisku ķermeni. Par celtnēm skatīt rakstu piramīdas.

Šis raksts ir par ģeometrisku ķermeni. Par citām jēdziena piramīda nozīmēm skatīt nozīmju atdalīšanas lapu.

Piramīda (πυραμίς) ir daudzskaldnis, kuram viena skaldne ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes ir trijstūri ar kopīgu virsotni. Daudzstūri sauc par piramīdas pamatu, bet trijstūrus par sānu skaldnēm. Sānu skaldņu kopīgo virsotni sauc par piramīdas virsotni.

Piramīda ar sešām sānu skaldnēm

Regulāra piramīda

Piramīdu iedalījums

1. Regulāras piramīdas.
2. Piramīdas, kurām sānu skaldnes veido ar pamatu vienādus leņķus.
3. Piramīdas, kurām sānu šķautnes veido ar pamatu vienādus leņķus.
4. Neregulāras piramīdas.

Piramīdas tiek nosauktas atkarībā no pamatā esošā daudzstūra malu skaita:

• ja pamats ir trijstūris, iegūst trijstūra piramīdu,
• ja pamatā ir četrstūris – iegūst četrstūra piramīdu,
• ja  piecstūra vai sešstūra piramīdu iegūst, ja pamats attiecīgi ir piecstūris vai sešstūris u.tml.

Vispārējas piramīdas formulas

Piramīdas sānu virsmas laukums ir visu tās sānu skaldņu laukumu summa: 

$S=S1+S2+S3+..$, kur S1, S2, S3 .. ir sānu skaldņu laukums

Tilpuma aprēķināšanas formula:

$V={\frac {1}{3}}S(pamatam)H$,kur H ir piramīdas augstums.

Laukums pilnai virsmai:

$S=S(pamata)+S(s.v.)$, kur S(s.v.) - sānu virsmas laukums.

Īpašības

1.Ja piramīdas

• visas sānu šķautnes veido ar pamatu vienādus leņķus;
• visas sānu šķautnes ir vienādas;
• visas sānu šķautnes veido ar piramīdas augstumu vienādus leņķus,

tad 1) piramīdas pamatam var apvilkt riņķa līniju,

2)piramīdas virsotne projicējas pamatam apvilktās riņķa līnijas centrā.

2.Ja piramīdas:

• visas sānu skaldnes veido ar pamatu vienādus leņķus (divplakņu kakti pie pamata ir vienādi);
• visas sānu skaldnes ar piramīdas augstumu veido vienādus leņķus;
• augstumi sānu skaldnēs pret pamata malu ir vienādi,

tad 1) piramīdas pamatā var ievilkt riņķa līniju,

2) piramīdas virsotne projicējas pamatā ievilktas riņķa līnijas centrā.

Regulāras piramīdas

Piramīdu sauc par regulāru piramīdu, ja

• pamatā ir regulārs daudzstūris (visas malas vienāda garuma);
• virsotnes projicējas pamata centrā;
• sānu šķautnes ir vienāda garuma.

Regulāras piramīdas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri.

Par piramīdas apotēmu sauc piramīdas sānu skaldnes augstumu.

Regulāras piramīdas sānu virsmas aprēķināšanai ir divas formulas:

$S={\frac {1}{2}}P(pamatam)h$, h ir apotēma.

$S={\frac {S(pamatam)}{cos\propto }}$, α divplakņu kakta leņķis pie pamata.

Tetraedrs

Regulāru trijstūra piramīdu, kuras visas šķautnes ir vienādas, sauc par tetraedru.

Ja tetraedra šķautnes garums ir a, tad

• $S={\sqrt {3}}a^{2}$ , S - pilnas virsmas laukums
• $V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}$, V- tilpums
• $h={\sqrt {\frac {2}{3}}}a\,\!$, h- tetraedra augstumsTetraedra izklājums
• $r={\frac {\sqrt {6}}{12}}a$ , r - ievilktās lodes rādiuss
• $R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a$ , R - apvilktās lodes rādiuss

Regulāras piramīdas īpašības

• Sānu šķautnes ir vienāda garuma;
• Augstuma pamats atrodas pamata daudzstūra apvilktās un ievilktās riņķa līnijas centrā;
• Visas sānu šķautnes veido vienādus leņķus ar pamata plakni;
• Visas sānu skaldnes veido vienādus divplakņu kaktus ar pamatu.

Raksturīgie leņķi piramīdā

Leņķi, ko veido piramīdas sānu skaldne ar pamata plakni, sauc par divplakņu kakta leņķi pie pamata.

Lai šo leņķi noteiktu, bieži vien jālieto triju perpendikulu teorēma (TPT).

Leņķi, ko veido piramīdas sānu šķautne ar tās projekciju pamata plaknē, sauc par leņķi starp sānu šķautni un pamata plakni.

Leņķi, ko veido piramīdas vienas skaldnes divas sānu šķautnes, sauc par leņķi pie piramīdas virsotnes.

Triju perpendikulu teorēma

Triju perpendikulu teorēma savu nosaukumu guvusi no tā, ka sasaista trīs perpendikularitātes faktus – perpendikulu pret plakni, taisnes plaknē perpendikularitāti pret slīpni, taisnes plaknē perpendikularitāti pret slīpnes projekciju.

Ir spēkā arī apgrieztā teorēma:

Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulāra pret slīpni, tad tā ir perpendikulāra arī pret šīs slīpnes projekciju.

Piramīdas šķēlums

Plakni, kura šķeļ daudzskaldni, sauc par šķēlumu.

Par diagonālšķēlumu sauc tādu šķēlumu, kas iet caur pamata diagonāli un piramīdas virsotni.

Lai konstruētu daudzskaldņa šķēlumu ar plakni, visbiežāk izmanto šādas īpašības:

1. ja divi punkti pieder šķēluma plaknei, tad taisne, kas novilkta caur šiem punktiem, arī pieder šķēluma plaknei;
2. ja taisne pieder šķēluma plaknei, tad katrs tās punkts pieder šķēluma plaknei;
3. paralēlās plaknēs šķēluma taisnes ir paralēlas;
4. divas taisnes krustojas tikai tad, ja tās atrodas vienā plaknē.

Piramīdas paralēlo šķēlumu īpašība

Ja piramīdu šķeļ pamatam paralēla plakne, tad tā:

1. Sadala sānu šķautnes un piramīdas augstumu proporcionālās daļas
2. Šķēlumā rodas daudzstūris, kas līdzīgs pamata daudzstūrim
3. Šķēlums un pamata laukumi attiecās kā attālums kvadrātā no piramīdas virsotnes.

Nošķelta piramīda

Par nošķeltu piramīdu sauc piramīdas daļu, kas atrodas starp tās pamatu un pamatam paralēlu plakni.

Nošķeltas piramīdas sānu skaldnes ir trapeces.

Formulas

Nošķeltas piramīdas pilnas virsmas laukumu aprēķina, izmantojot šādu formulu:

$S=S(s.v.)+S(pamats1)+S(pamats2)$, kur S(s.v.) - sānu virsmas laukums, S(pamats1) - apakšējā pamata laukums, S(pamats2) - augšējā pamata laukums.

Nošķeltas piramīdas tilpumu aprēķina, izmantojot formulu:

$V={\frac {1}{3}}H(S1+({\sqrt {S}}1S2)+S2)$, kur S1 un S2 – pamatu laukumi, bet H – nošķeltās piramīdas augstums.

Nošķelta regulāra piramīda

Nošķeltu piramīdu, kas iegūta, regulāru piramīdu šķeļot ar plakni, kura paralēla pamatam, sauc par regulāru nošķeltu piramīdu.

Sānu skaldnes ir vienādas vienādsānu trapeces.

Nošķeltas regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:

$S={\frac {1}{2}}(P1+P2)*h$, kur h - sānu augstums, P1 un P2 - pamatu perimetri.

Piramīdas augstums

Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas vilkts no piramīdas virsotnes pret pamata plakni.

Piramīdas augstums - H

Piramīdas augstums var:

• atrasties piramīdas iekšpusē; 
• atrasties ārpus piramīdas; 
• sakrist ar piramīdas sānu šķautni; 
• atrasties piramīdas sānu skaldnē.

Skatīt arī

• Prizma
• Tetraedrs

Ārējās saites

• Programma, kura izskaitļo dažus piramīdas parametrus pēc noteiktām virsotņu koordinātēm (krievu val.)
• Saits, Interneta vietne par dažādiem piramīdas parametriem. (angļu valodā)
• Saits Piramīdas izskaidrojums, dažādi uzdevumu un animācijas. (latviešu val.