Perfekti skaitļi
Šis raksts ir jākategorizē. Lūdzu, palīdzi uzlabot šo rakstu, pievienojot vismaz vienu kategoriju. Diskusijā var parādīties dažādi ieteikumi. Vairāk lasi lietošanas pamācībā. |
Šajā rakstā ir pārāk maz vikisaišu. Lūdzu, palīdzi uzlabot šo rakstu, saliekot tajā saites uz citiem rakstiem. Diskusijā var parādīties dažādi ieteikumi. Vairāk lasi lietošanas pamācībā. |
Šo rakstu ir ierosināts dzēst (skatīt Vikipēdijas dzēšanas vadlīnijas). Iemesls: ja nesakārtos (termiņš: 15 dienas jeb 06.05.2024) Šāds termiņš izvēlēts, kritiski novērtējot lapas saturu. Ja šajā termiņā lapa tiks pietiekami uzlabota, lai to nevajadzētu dzēst, šī veidne var tikt noņemta. Ja iebilstat pret raksta dzēšanu vai dzēšanas termiņu, lūdzu, apspriediet to raksta diskusiju lapā. Jūs joprojām varat uzlabot šo rakstu, lai tas nebūtu jādzēš. Lūdzu, nedzēsiet raksta saturu, neievietojiet to citā lapā un nepārvietojiet šo rakstu. Lūdzu, nedzēsiet šo paziņojumu, kamēr raksts nav uzlabots līdz atbilstošam līmenim vai kamēr notiek diskusija par tā dzēšanu.Iespējamie termiņi — 5 dienas, 15 dienas, 30 dienas. |
Šis raksts neatbilst pieņemtajiem noformēšanas kritērijiem. Lūdzu, palīdzi uzlabot šo rakstu. Diskusijā var parādīties dažādi ieteikumi. Vairāk lasi lietošanas pamācībā. |
Definīcija labot šo sadaļu
Skaitļu teorijā perfekts skaitlis ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir vienāds ar tā pozitīvo īsto dalītāju summu, tas ir, dalītāji, izņemot pašu skaitli. [2]
Piemēri labot šo sadaļu
Skaitli 6 bez atlikuma var dalīt ar 1, 2 un 3 (neskaitiet skaitli 6).
Dalītāju summa ir = 1 + 2 + 3 = 6.
Tāpēc skaitlis 6 ir ideāls skaitlis.
Ko tālāl labot šo sadaļu
Starp 0 un 100 ir tikai vēl viens ideāls skaitlis: 28.
28 => 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (neskaitiet skaitli 28) = 28. Izmēģiniet skaitli 10 => 1, 2, 5 => 8.
Skaitlis 10 nav perfekts.
Dodieties līdz 10000, un jūs atradīsiet nākamos 2 ideālos skaitļus: 496 un 8128.
Šie 4 skaitļi bija vienīgie ideālie skaitļi, ko senie grieķi zināja ap 300. gadu p.m.ē.
Kas ir kopīgs visos šajos skaitļos?
6 28 496 8128
1) Katrs nākamais ir par vienu ciparu vairāk. 2) Pēdējie cipari mainās starp vērtībām 6 un 8. 3) Visi šie skaitļi ir pāra.
Bet paskatīsimies, ko vēl mēs varam atrast?
Skatiet, cik tas ir pārsteidzoši: tie visi ir līdzīgu secīgu skaitļu secību summa:
6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 30 + 31 8128 = 1 + 2 + 3 + ... + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 30 + 31 + ... + 126 + 127
Bet kas ir vēl interesantāks: visi, izņemot 6, ir nepāra kubu summa:
<math>28 = 1^3 + 3^3 496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 8128 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + ... + 15^3</math>
Bet tas, kas jūs satriektu, ir tas, ka, ierakstot tos binārā kodā:
<math>6 = 110 = 2^2 + 2^1 28 = 11100 = 2^4 + 2^3 + 2^2 496 = 111110000 = 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 8128 = 1111111000000 = 2^12 + 2^11 + 2^10 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6</math>
un, kā redzat, tās ir secīgas jaudas skaitļa 2.
Eiklīda algoritms labot šo sadaļu
Apmēram 300. gadu pirms mūsu ēras Eiklīds pamanīja rakstu:
a) Paņemiet skaitli 1 un dubultojiet to. Jums ir 2. Tagad turpiniet tos dubultot. Jums bus šāda secība:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... un tā tālāk.
b) Tagad, sākot no 1, pievienojiet tam nākamo skaitli:
1 + 2 = 3
ja tas beidzas ar pirmskaitļu, jūs to reiziniet ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 2):
3 x 2 = 6 - pirmais ideālais skaitlis!
c) Tagad turpināsim to darīt:
1 + 2 + 4 = 7, kas atkal ir pirmskaitlis.
Reizinot to ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 4):
7 x 4 = 28 - otrais ideālais skaitlis!
d) Nākamais solis sniedz mums:
1 + 2 + 4 + 8 = 15, kas nav pirmskaitlis, tāpēc mēs turpinām:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, kas atkal ir pirmskaitlis.
Reizinot to ar pēdējo skaitli (šajā gadījumā tas ir 16):
31 x 16 = 496 - trešais ideālais skaitlis!
Tagad varat turpināt to darīt, lai atrastu arvien lielākus perfektus skaitļus.
Bet mēs varam arī uzrakstīt, ka:
<math>6 = (1 + 2) * 2^1 = (2^2 - 1) * 2^1
28 = (1 + 2 + 4) * 2^2 = (2^3 - 1) * 2^2
496 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) * 2^4 = (2^5 - 1) * 2^4</math>
. . . . .
Saskaņā ar šo pieeju Eiklīds secināja, kā:
Perfekts skaitlis = <math>(2^p - 1) * 2^(p-1), ja 2^(p - 1)</math> ir pirmskaitlis.
Un šeit mēs nonākam pie ceturtā vispārīgā secinājuma par ideālajiem skaitļiem:
4) Tā kā jūs to reizini ar <math>2^(p-1)</math>, kas vienmēr ir pāra, arī visiem perfektajiem skaitļiem vienmēr jābūt pāriem.
Pēdējais vispārīgais secinājums ir šāds:
5) Perfekto skaitļu skaits ir bezgalīgs.
Nākamais atklājums labot šo sadaļu
1230. gadā matemātika Ibn Falluss publicēja pirmo 10 ideālo skaitļu sarakstu:
p | <math>(2^p - 1) * 2^(p-1)<math>
2 | 6
3 | 28
5 | 496
7 | 8128
9 | 130816
11 | 2096128
13 | 33550336
17 | 8589869056
19 | 137438691328
23 | 35184367894528
Piemēram:
<math>p = 19 => (2^19 - 1) * 2^(19-1) = 524287 x 262144 = 137438691328.</math>
Bet vēlāk izrādījās, ka trīs viņa ideālie skaitļi:
9 | 130816
11 | 2096128
23 | 35184367894528
tie nekad nav bijuši ideāli skaitļi! Bet atlikušie tomēr ir:
No | p | <math>(2^p - 1) * 2^(p-1)</math>
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 | 2 | 6
2 | 3 | 28
3 | 5 | 496
4 | 7 | 8128
5 | 13 | 33550336
6 | 17 | 8589869056
7 | 19 | 137438691328
Šis rezultāts noraida divus pirmos iepriekšējos vispārīgos apgalvojumus:
1) Katrs nākamais ir par vienu ciparu vairāk -> no 4. līdz 5.: no 4 cipariem līdz 8 cipariem. 2) Las cipari ir pārmaiņus starp 6 un 8 -> no 5. līdz 6.
Daudzus gadsimtus liela grupa slavenu pasaules matemātiku neveiksmīgi mēģināja atrast vēl vienu perfektu skaitli. Un tikai 1903. gada 31. oktobrī Frenks Nelsons Kols [3] sniedza prezentāciju Amerikas Matemātikas biedrībai. Ne vārda nesakot, viņš uzrakstīja uz vienas tāfeles puses:
<math>2^67 — 1 = 147573952589676412927</math>
Tad viņš pārcēlās uz tāfeles otru pusi un rakstīja:
193707721 * 761838257287 = 147573952589676412927
Viņš apsēdās ne vārda neteicis un publika sajūsminājās! Viņš vēlu atzina, ka viņam bija vajadzīgi trīs gadi svētdienās, lai atrisinātu šo problēmu.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
JavaScript funkcija, lai noskaidrotu, vai dotais skaitlis ir perfekts skaitlis
const irPerfektaSkaitlis = (n) => {
//////////////[ PĀRBAUDE ]//////////////
// Ja ievadītais skaitlis nav vesels, vai nav pozitīvs
if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
return "Lūdzu, norādiet derīgu pozitīvu veselu skaitli!";
}
// Sāciet ar 1, jo visiem skaitļiem ir 1 kā dalītājs let sum = 1;
// Veiciet cilpu, lai atrastu visus dalītājus un aprēķinātu summu for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
if (n % i === 0) { sum += i; if (i !== n / i) { sum += n / i; } }
}
// Pārbaudiet, vai dalītāju summa ir vienāda ar sākotnējo skaitli
const irPerfekts = sum === n;
// Izvadiet rezultātu
if (irPerfekts) {
return `${n} ir perfekts skaitlis.`;
} else {
return `${n} nav perfekts skaitlis.`;
}
};
//////////////////////////////////////
// 1. piemērs irPerfektaSkaitlis(28);
// 2. piemērs
irPerfektaSkaitlis(13);
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Atsauces: [ 1 ] - https://www.youtube.com/watch?v=Zrv1EDIqHkY [ 2 ] - https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number [ 3 ] - https://en.wikipedia.org/wiki/Frank_Nelson_Cole
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -