Mandelbrota kopa

Mandelbrota kopa ir punktu kopa kompleksajā plaknē, kuras robeža ir fraktālis (šo robežu sauc par Mandelbrota līkni). Mandelbrota kopa ir nosaukta par godu franču / amerikāņu matemātiķim Benuā Mandelbrotam. Formāli to definē kā tādu punktu c kopu kompleksajā plaknē, kuriem, iterējot jeb atkārtoti izpildot

Mandelbrota kopas krāsains attēls

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\,$

ar sākuma nosacījumu z₀ = 0, iegūtā virkne z_n ir ierobežota. Tas nozīmē, ka komplekss skaitlis c pieder Mandelbrota kopai tad, ja eksistē tāds reāls skaitlis r (kas var būt atkarīgs no c), ka virknes z_n locekļu absolūtā vērtība nekad nekļūst lielāka par r.

Piemērs

c = 1	c = i
z0 = 0, z1 = 02 + 1 = 1, z2 = 12 + 1 = 2, z3 = 22 + 1 = 5, z4 = 52 + 1 = 26, ...	z0 = 0, z1 = 02 + i = i, z2 = i2 + i = −1 + i, z3 = (−1 + i)2 + i = −i, z4 = (−i)2 + i = −1 + i, ...

Piemēram, ja izvēlas c = 1 un c = i (imaginārā vienība), tad iegūst virknes, kas dotas tabulā. Redzam, ka pirmās virknes locekļi kļūst pēc patikas lieli, tāpēc c = 1 nepieder Mandelbrota kopai. Toties punktam c = i atbilstošā virkne ir periodiska (z₂ = z₄), līdz ar to tā ir ierobežota (z_n absolūtā vērtība nekad nekļūst lielāka par kvadrātsakni no 2). Tas nozīmē, ka c = i pieder Mandelbrota kopai.

Vispārīgā gadījumā nav tik viegli pārbaudīt, vai dotais punkts c pieder Mandelbrota kopai. Toties var pierādīt, ka Mandelbrota kopa nesatur punktus, kam | c | > 2. To var izmantot, lai ar datora palīdzību iegūtu aptuvenu Mandelbrota kopas attēlu. Tad parasti izvēlas r = 2 un nofiksē kādu lielu skaitli n₀, un pieņem, ka c pieder Mandelbrota kopai, ja | z_n | ≤ 2 visiem n, kas mazāki par n₀.

Rekurenta formula ar reāliem skaitļiem

Lielas izšķirtspējas Mandelbrota kopas attēls kompleksajā plaknē

Ne visās programmēšanas valodās ir iebūvēta iespēja izpildīt aritmētiskas darbības ar kompleksiem skaitļiem, tāpēc ir nepieciešams iegūt iterēšanas likumu priekš reāliem skaitļiem. Šādā nolūkā apzīmē z_n = x_n + iy_n, kur x_n un y_n ir reālu skaitļu virknes. Tā kā z₁ = 0² + c = c, tad c = x₁ + iy₁. Izpildot vienu iterāciju, iegūstam

${\begin{aligned}z_{n+1}&=z_{n}^{2}+c\\&=(x_{n}+iy_{n})^{2}+x_{1}+iy_{1}\\&=x_{n}^{2}+2ix_{n}y_{n}-y_{n}^{2}+x_{1}+iy_{1}.\end{aligned}}$

Tā kā skaitļi x_n+1 un y_n+1 ir kompleksā skaitļa z_n+1 reālā un imaginārā daļa, tad iegūstam šādas rekurentas sakarības:

${\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+x_{1},\\y_{n+1}&=2x_{n}y_{n}+y_{1}.\end{aligned}}$

Krāsainu attēlu iegūšana

Mandelbrota kopa (melna) un krāsains tās papildinājums

Stingri ņemot, Mandelbrota kopas un līdzīgu fraktāļu attēliem vajadzētu būt melnbaltiem, jo katrs kompleksās koordinātu plaknes punkts vai nu pieder Mandelbrota kopai, vai tajā neietilpst. Tomēr ar datora palīdzību var iegūt arī krāsainus attēlus, iekrāsojot noteiktās krāsās tos punktus, kuri "aiziet bezgalībā" pēc noteikta iterāciju skaita. Pašai kopai piederošie punkti tradicionāli vienmēr ir melni. Jo vairāk iterāciju, jo precīzāk var noteikt Mandelbrota kopas robežu, taču līdz ar to būtiski pieaug aprēķiniem nepieciešamais laiks.

Mandelbrota kopas struktūra

Mandelbrota kopas komponentes

Apskatot Mandelbrota kopu, tajā var izdalīt bezgalīgi daudz elementārfigūru. Pati lielākā figūra, kas atrodas centrā (komponente 1 attēlā), ir kardioīda (no grieķu: kardia - sirds), ko parametriski var uzdot šādi:

$c(t)={\frac {e^{it}}{2}}-\left({\frac {e^{it}}{2}}\right)^{2},$

kur t mainās no 0 līdz 2π. Kardioīdai savukārt pieskaras vairāki riņķi — lielākais no tiem (atzīmēts ar 2 attēlā) atrodas punktā c = −1 un tā rādiuss ir 1/4. Kardioīdas sānos esošo riņķu izmērs pakāpeniski samazinās, tiecoties uz nulli. Šajā bezgalīgajā procesā veidojas fraktālis, kura sānu atzarojumos savukārt var saskatīt savas kardioīdas un riņķus. Mandelbrota fraktāli uzskata par vienu no vissarežģītākajiem mūsdienu matemātikas objektiem.

Mandelbrota kopas īpašības

Režģis no daudzām Žiliā kopām, kurā saskatāms Mandelbrota kopas apveids (melnā krāsa dominē tikai Mandelbrota kopas punktiem atbilstošajos Žiliā kopu attēlos, jo pārējiem punktiem atbilstošās Žiliā kopas ir nekur blīvas)

Ja iterējot attēlojumu z ↦ z² + c ar sākuma nosacījumu z₀ = 0 iegūst punktu z, kam | z | ≥ | c | un | z | > 2, tad c nepieder Mandelbrota kopai. Ja | c | > 2, tad šādu z iegūst jau pēc pirmās iterācijas, jo z₁ = c. Tas nozīmē, ka Mandelbrota kopa ir apakškopa riņķim ar rādiusu 2, kura centrs atrodas koordinātu sākumpunktā.

Pierādījums

Apgalvojums: Ja | z | ≥ | c | un | z | > 2, tad virkne, ko iegūst iterējot z ↦ z² + c, nav ierobežota.

Pierādījums: Apzīmējot | z | = 2 + ε, kur ε > 0, iegūstam

${\begin{aligned}|z^{2}+c|&\geq |z^{2}|-|c|=|z|^{2}-|c|\\&\geq |z|^{2}-|z|=|z|(|z|-1)\\&=|z|(1+\varepsilon ).\end{aligned}}$

Atkārtojot līdzīgu spriedumu k reizes, var pierādīt, ka pēc k iterācijām iegūtais punkts no koordinātu sākumpunkta atradīsies attālumā, kas ir vismaz

$|z|(1+\varepsilon )^{k}.$

Tas nozīmē, ka sākotnējā punkta z trajektorija nav ierobežota, jo šo izteiksmi var padarīt pēc patikas lielu, izraugoties attiecīgu k.

Hausdorfa dimensija ir reāls skaitlis (ne obligāti vesels), ar kura palīdzību var formāli raksturot kopas dimensiju. Ir pierādīts, ka Mandelbrota līknes (Mandelbrota kopas robežas) Hausdorfa dimensija ir 2. Tas nozīmē, ka Mandelbrota līkne ir tik ļoti sakrokojusies, ka to drīzāk varētu saukt par virsmu, nevis līkni.

Aplūkojot Mandelbrota kopu palielinājumā tas var šķist neticami, bet patiesībā tā ir saistīta jeb sakarīga kopa, t.i., tās robeža ir viena vienīga nepārtraukta līkne.

Mandelbrota kopa ir cieši saistīta ar Žiliā kopu (latviešu valodā pazīstama arī ar nosaukumiem Džūlija kopa un Džulia kopa), kas nosaukta par godu franču matemātiķim Gastonam Žiliā (Gaston Julia). Viens no veidiem, kā definē Mandelborta kopu, ir ar Žiliā kopas palīdzību: Mandelbrota kopa sastāv no tieši tiem kompleksās plaknes punktiem c, kuriem atbilstošā Žiliā kopa ir sakarīga (pārējiem punktiem atbilstošās Žiliā kopas ir nekur blīvas tāpat kā Kantora kopa). Tādējādi Mandelbrota kopu var uzskatīt par visu sakarīgo Žiliā kopu katalogu (skatīt attēlu), jo pie katras c vērtības veidojas sava atšķirīgas struktūras Žiliā kopa.

Vēsture

Mandelbrota kopas izskats, iterāciju skaitam pieaugot no 1 līdz 50

Pirmo reizi Mandelbrota kopu 1905. gadā aprakstīja franču matemātiķis Pjērs Fatū (Pierre Fatou), kurš pētīja komplekso skaitļu analītisko dinamiku. Fatū pētīja rekursīvos procesus formā z ↦ z² + c. Iteratīvi pielietojot šo attēlojumu kompleksās plaknes punktam z₀, iegūst kopu, ko sauc par punkta z₀ orbītu attiecībā pret doto attēlojumu.

Fatū konstatēja, ka punkta z₀ = 0 orbīta šajā pārveidojumā uzvedas ārkārtīgi interesanti un sarežģīti. Tā kā šādu attēlojumu ir bezgalīgi daudz — katrai c vērtībai savs — Fatū nespēja tos visus aprakstīt, taču pierādīja, ka to punktu orbītas, kuru absolūtā vērtība lielāka par 2, nav ierobežotas (aiziet bezgalībā).

Fatū nekad neredzēja neparastos attēlus, ko mēs tagad pazīstam kā Mandelbrota kopu, jo cilvēks ar roku nav spējīgs veikt tik apjomīgus aprēķinus. Profesors Benuā Mandelbrots pirmais šim nolūkam izmantoja datoru, tāpēc iegūtais fraktālis tagad nosaukts par godu viņam.

1975. gadā Mandelbrots savā grāmatā "Fraktālie objekti: forma, nejaušība un dimensija" (Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension) pirmo reizi lieto terminu "fraktālis", lai apzīmētu matemātiskos fenomenus ar neparedzamu un dīvainu uzvedību, kurus iegūst ar rekursīvu algoritmu palīdzību.

Mandelbrota kopas palielināšana

Mandelbrota kopa arvien lielākā palielinājumā

Mandelbrota kopas palielināšana

Skatīt arī

• Žiliā kopa (pazīstama arī kā Džūlija kopa un Džulia kopa)

Papildu literatūra

• Ilona Nukševica. Fraktāļi - nākotnes ģeometrija? Terra, Nr. 6, 2007, 27. lpp.
• Siliņš, Edgars Imants (2002), Lielo patiesību meklējumi, Jumava.
• Devaney, Robert L. (1998), A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment (6 izd.), Westview Press, ISBN 9780201554069.
• Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar (2004), Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (2 izd.), Springer, ISBN 9780387202297, Chapter 14, The Mandelbrot Set: Ordering the Julia Sets, 783. lpp.
• Gamelin, Theodore W. (1993), Complex dynamics, Springer, ISBN 9780387979427, VIII.1 The Mandelbrot Set, 123. lpp.
• Silverman, Joseph H. (2007), The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer, ISBN 9780387699035, 4.2 Quadratic Polynomials and Dynatomic Modular Curves, 155. lpp.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Mandelbrot Set, MathWorld.
• Lode Vandevenne, Lode's Computer Graphics Tutorial: Julia and Mandelbrot Sets, 2004.
• Robert L. Devaney, The Fractal Geometry of the Mandelbrot Set, lekciju materiāli.
• Iterations and the Mandelbrot Set, Cut The Knot.
• Mandelbrota kopas palielināšanas video
• Mandelbrota kopas palielināšanas video ar 100 000 000 iterācijām