Kvadrātnevienādība

Nevienādības, kuras vispārīgais veids ir $ax^{2}+bx+c>0$ (<0, ≤0, ≥0), kur a, b,c ∈ $R$ un a≠0, bet $x$ ir mainīgais, sauc par kvadrātnevienādību.

Kvadrātnevienādību iedalījums

Kvadrātnevienādības iedala tāpat kā lineārās nevienādības.

Stingrās kvadrātnevienādības

Par stingrām kvadrātnevienādībām sauc kvadrātnevienādības, kuras satur zīmi $<$ vai $>$ .

Nestingrās kvadrātnevienādības

Par nestingrām kvadrātnevienādībām, sauc kvadrātnevienādības, kuras satur zīmi $\leq \,$ vai $\geq \,$.

Pilnās kvadrātnevienādības

Par pilnām kvadrātnevienādībām sauc kvadrātnevienādības, kur visi trīs koeficienti $a$, $b$ un $c$ ir no nulles atšķirīgi skaitļi.

Nepilnās kvadrātnevienādības

Par nepilnām kvadrātnevienādībām sauc kvadrātnevienādības, kurās kaut viens no koeficientiem $b$ vai $c$ ir vienāds ar nulli.

Kvadrātnevienādības risinājums

Tukši punkti stingrām nevienādībām

Pildīti punkti nestingrām nevienādībām

Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus (norādīt atrisinājuma intervālu) un pierādīt, ka nevienādībai citu atrisinājumu nav.

Nosaka parabolas krustpunktus ar $x$ asi (atrod funkcijas nulles), atrisinot vienādojumu $ax^{2}+bx+c=0$.

Izmanto kvadrātvienādojuma formulas:

$D=b^{2}-4ac$

$x_{\text{1,2}}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}$

• Ja $D>0$, tad vienādojumam ir divas dažādas saknes, parabola krusto $o_{x}$ asi divos punktos.
• Ja $D=0$, tad vienādojumam ir divas vienādas saknes, parabolas virsotne atrodas uz $o_{x}$ ass.
• Ja $D<0$, tad vienādojumam nav reālu sakņu, parabola $o_{x}$ asi nekrusto.

Kvadrātvienādojuma saknes var aprēķināt arī izmantojot Vjeta teorēmu.

${x_{1}*x_{2}}={\frac {c}{a}}$

${x_{1}+x_{2}}={-{\frac {b}{a}}}$

Ņemot vērā sakņu skaitu un koeficienta $a$ zīmi, skicē parabolas grafiku.

• Ja $a>0$, tad zari vērsti uz augšu.
• Ja $a<0$, tad zari vērsti uz leju.

Izvēlās tukšus vai pildītus punktus, atkarībā no nevienādības zīmes.

• Tukšs, ja kvadrātnevienādība satur zīmes $<$ vai $>$.
• Pildīts, ja kvadrātnevienādība satur zīmes $\leq \,$ vai $\geq \,$.

Pēc parabolas grafika nosaka kvadrātnevienādības atrisinājumu.

Paskaidrojums	Risinājums	Attēls
Nevienādību uzraksta tā, lai kreisajā pusē būtu kvadrāttrinoms $ax^{2}+bx+c$, bet labajā — nulle.	$x^{2}-3x<4$ $x^{2}-3x-4<0$
Lai noskaidrotu, kuros punktos parabola krusto $x$ asi, kvadrāttrinomu $ax^{2}+bx+c$ pielīdzina nullei un atrod atbilstošās kvadrātvienādojuma saknes.	$x^{2}-3x-4=0$ $D=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4*1*(-4)=9+16=25$ $x_{1}={-b+{\sqrt {D}} \over 2a}={3+5 \over 2}=4$ $x_{2}={-b-{\sqrt {D}} \over 2a}={3-5 \over 2}=-1$
Uzskicē parabolu, ņemot vērā tās zaru vērsumu un krustpunktus ar $x$ asi. Krustpunkti pieder atrisinājuma intervālam, ja jārisina nestingrā nevienādība ($\leq \,$ vai $\geq \,$), bet nepieder, ja jārisina nestingrā nevienādība ($>$ vai $<$)	$a=1$ $1>0$, tātad zari vērsti uz augšu.
Uzmanīgi izlasa doto nevienādību un analizē parabolas novietojumu attiecībā pret $x$ asi: Ja $ax^{2}+bx+c<0$ (mazāks par nulli) un $a>0$, tad atrisinājumu veido tās $x$ vērtības, kurām atbilstošie parabolas punkti atrodas zem $x$ ass. Ja $ax^{2}+bx+c>0$, tad atrisinājumu veido tās $x$ vērtības, kurām atbilstošie parabolas punkti atrodas virs $x$ ass.	$x^{2}-3x-4<0$ , tātad atrisinājumu veido x vērtības, kurām atbilstošie punkti atrodas zem $x$ ass.
Pieraksta atbildi.	$x$∈(-1;4)

• 
  Parabola nekrusto $x$ asi.
• 
  Parabola nekrusto $x$ asi.
• 
  Parabolas virsotne atrodas uz $x$ ass.

Skatīt arī

• Parabola
• Nevienādība
• Vienādojums
• Kvadrātvienādojums

Ārējās saites

• Nevienādību un nevienādību sistēmu risināšana
• Kvadrātnevienādības