Īpašvērtības un īpašvektori

Kvadrātiskās matricas īpašvektori ir nenulles vektori, kuri pēc reizināšanas ar matricu paliek uz iepriekšējās līnijas. Ar kvadrātisko matricu izteiktā lineārā transformācija var mainīt tikai šādu vektoru garumu. Rezultējošā un sākotnējā vektora garumu attiecības koeficients ir matricas īpašvērtība.

Šī transformācija maina sarkanās bultas virzienu, bet zilās bultas virziens paliek nemainīgs. Tāpēc zilā bulta ir viens no transformācijas īpašvektoriem. Bez tam, tā kā zilāi bultai nav mainījies arī garums, šim īpašvektoram atbilst īpašvērtība 1.

Īpašvērtībām un īpašvektoriem ir daudz pielietojumu gan teorētiskajā, gan lietišķajā matemātikā. Tie raksturo lineāro transformāciju būtiskas īpašības - piemēram, vai attiecīgai lineāru vienādojumu sistēmai ir viennozīmīgs risinājums vai nē. Daudzos pielietojumos īpašvērtības un īpašvektori raksturo arī matemātiska modeļa fiziskās īpašības. Mehānikā īpašvērtības reprezentē mehānisko sistēmu rezonanses frekvences, piemēram, stīgu pamattoņus. Būtiska nozīme īpašvērtībām ir kvantu mehānikā. Piemēram, tās nosaka iespējamus enerģijas līmeņus atomos un molekulās.

Definīcija

Transformācijas matrica $\mathbf {A}$izstiepj vektoru $\mathbf {x}$, nemainot tā virzienu, tāpēc $\mathbf {x}$ ir matricas $\mathbf {A}$ īpašvektors. Stiepšanas koeficients ir šim vektoram atbilstoša īpašvērtība.

Transformāciju matrica ${\bigl [}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ saglabā visu to vektoru virzienu, kuri ir paralēli vektoriem ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ (zili) un ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ (violeti). Sarkanie vektori nav īpašvektori, jo transformācija tos sagroza.

Pieņemsim, $F$ ir lineārs attēlojums no vektortelpas V uz to pašu vektortelpu, bet vektors $\mathbf {x}$ ir tāds nenulles vektors telpā V, ka

$F(\mathbf {x} )=\lambda \mathbf {x}$

kur $\lambda$ ir skaitlis. Tad $\mathbf {x}$ saucas transformācijas $F$ īpašvektors ar īpašvērtību $\lambda$.

Ja transformācija $F$ ir izteikta matricas veidā (piemēram, $\mathbf {A}$), tad

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$.

Īpaštelpa ir kopa, kura apvieno visus īpašvektorus ar vienādu īpašvērtību, kā arī nulles vektoru.

Risināšanas princips

Īpašvērtības

Vispārīgā gadījumā īpašvērtības atrod, risinot definīcijas vienādojumu

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

Šo vienādojumu var pārrakstīt sekojošā veidā:

$(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {x} =\mathbf {0}$

kur $\mathbf {I}$ ir vienības matrica, bet $\mathbf {0}$ - nulles vektors.

Šo izteiksmi var interpretēt tā, ka operators $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$ jebkuru nenulles vektoru $\mathbf {x}$ pārvērš par nulles vektoru. Šāds attēlojums nevar būt bijektīvs, jo nulles vektoru nav iespējams ar reizināšanu transformēt atpakaļ, iegūstot nenulles vektoru. Tāpēc šāda matrica nevar būt invertējama. Matrica ir invertējama tad un tikai tad, ja matricas determinants nav nulle. No tā izriet, ka mūsu gadījumā matricas determinantam jābūt nullei:

$\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$

Šī determinanta izteiksme ir $\textstyle n$-tas pakāpes polinoms, kur $\textstyle n$ ir matricas rindu skaits. Šo polinomu sauc par harakteristisko polinomu. Polinoma nulles $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ ir matricas īpašvērtības. Citiem vārdiem, īpašvērtības ir sekojoša vienādojuma saknes:

$\alpha _{n}\cdot \lambda ^{n}+\alpha _{n-1}\cdot \lambda ^{n-1}+\dots +\alpha _{1}\cdot \lambda +\alpha _{0}=0.$

Ja, risinot šo vienādojumu, $\lambda _{i}$ parādās $m$ reizes, tad saka, ka īpašvērtībai $\lambda _{i}$ ir algebriska daudzējādība $m$.

Trijstūrveida matrica

Atrast īpašvērtības trijstūrveida matricai ir īpaši viegli, jo tās sakrīt ar matricas galvenās diagonāles elementiem.

Aplūkosim trijstūrveida matricu:

$={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\0&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &&&\vdots \\0&0&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}$

Šīs matricas determinants ir diagonālo elementu reizinājums:

$\det(\mathbf {A} )=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdots a_{n,n}$

Tad trijstūrveida matricas harakteristiskais polinoms izskatās šādi:

$\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=(a_{1,1}-\lambda )\cdot (a_{2,2}-\lambda )\cdot \cdots (a_{n,n}-\lambda )=0$

un tam ir acīmredzami risinājumi

$\lambda _{1}=a_{1,1},$     $\lambda _{2}=a_{2,2},$     $...,$     $\lambda _{n}=a_{n,n}$

Jebkuru n×n matricu var pārveidot par trijstūrveida matricu ar Gausa metodi, neizmainot tās īpašības.

Īpašvērtību sakarības

• Īpašvērtību summa ir vienāda ar matricas pēdu: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum \lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}$
• Īpašvērtību reizinājums ir vienāds ar determinantu: $\det(\mathbf {A} )=\prod \lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$
• Kāpinātas matricas $A^{k}$ īpašvērtības ir attiecīgas īpašvērtību pakāpes: $\lambda _{1}^{k},\dots ,\lambda _{n}^{k}$
• Reālo skaitļu matricai var arī nebūt nevienas reālas īpašvērtības, bet jebkurai kompleksai matricai īpašvērtības ir.

Īpašvektori

Pēc īpašvērtību atrašanas īpašvektorus atrod, secīgi ieliekot atrastās īpašvērtības vienādojumā $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {x} =\mathbf {0}$ un risinot to attiecībā uz $\mathbf {x}$. Tā kā $\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$, pastāv bezgalīgs skaits risinājumu, t. i. īpašvektoru ir bezgalīgi daudz un tos var izteikt tikai ģeneralizētā veidā, norādot vektora komponentu attiecības.

Īpaštelpas

Papildinot īpašvektoru kopu ar nulles vektoru, iegūst īpaštelpu attiecīgajai īpašvērtībai.

Piemēri

Dota kvadrātiska matrica

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&2&-1\\2&-1&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}.$

Īpašvērtību atrašana

Atņemt no šīs matricas vienības matricu, reizinātu ar $\lambda$:

$\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}0&2&-1\\2&-1&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0-\lambda &2&-1\\2&-1-\lambda &1\\2&-1&3-\lambda \end{pmatrix}}.$

Izrēķināt determinantu. Šim procesam ērti izmantot Sarusa metodi:

${\begin{matrix}\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )&=&(0-\lambda )(-1-\lambda )(3-\lambda )+4+2-(2\lambda +2+\lambda +12-4\lambda )\\&=&-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+4\lambda -8\\&=&-(\lambda -2)(\lambda -2)(\lambda +2)\end{matrix}}.$

Pašvērtības ir šī polinoma nulles, t. i.

$\lambda _{1,2}=2,\ \lambda _{3}=-2.$

Īpašvērtībai 2 ir algebriska daudzējādība 2, jo tā ir harakteristiskā polinoma dubulta nulle.

Īpašvektoru un īpaštelpu ģenerēšana

Īpašvērtībai $\textstyle \lambda =2$:
Liekot šo īpašvērtību sākotnējā vienādojumā $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {x} =\mathbf {0}$, iegūst:

$(\mathbf {A} -2\mathbf {I} )\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}0-2&2&-1\\2&-1-2&1\\2&-1&3-2\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}-2&2&-1\\2&-3&1\\2&-1&1\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Reducējot šo matricu līdz trīsstūra formai:

${\begin{pmatrix}1&0&{\frac {1}{2}}\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Šai lineāro vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Noteikta vērtība ir tikai otrajai koordinātai $(y=0)$. Turpretī vektora komponentiem $x$ un $z$ var būt jebkuras vērtības, ievērojot proporciju $2x=-z$. Līdz ar to visiem īpašvektoriem ar $\lambda =2$ ir izskats $(-k,0,2k)^{\top }$, kur $k\neq 0$. Viens no šādu īpašvektoru piemēriem ir $(-1,0,2)^{\top }$.
Visi vektori ar komponentu proporcijām $(-k,0,2k)$ un nulles vektors $(0,0,0)$ veido īpaštelpu, kura atbilst īpašvērtībai 2. Apzīmējot šo īpaštelpu, piemēram, ar $S(2)$, to var pierakstīt sekojoši:

$S(2)=\{(-k,0,2k):k\in \mathbb {R} \}$

Nulles vektors ir iekļauts ar to, ka mainīgajam $k$ šeit jau ir pieļauta vērtība 0. Šī īpaštelpa ir viendimensijas telpa, un proti taisne, kura iet caur koordinātu sākumu.
 
Īpašvērtībai $\lambda =-2$:
Procedūra ir līdzīga aprakstītajai augstāk:

$(\mathbf {A} -(-2)\mathbf {I} )\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}0+2&2&-1\\2&-1+2&1\\2&-1&3+2\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&1&1\\2&-1&5\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Šīs lineāru vienādojumu sistēmas risināšana dod vektoru ar komponentu proporcijām $(-3k,4k,2k)^{\top }$, kur $k\neq 0$. Viens no šādu īpašvektoru piemēriem ir $(-3,4,2)^{\top }$.
Visi šādi vektori veido īpaštelpu:

$S(-2)=\{(-3k,4k,2k):k\in \mathbb {R} \}$

Arī šī īpaštelpa ir taisne caur koordinātu sākumu.
 
Piezīme: Iepriekš aprakstītajā piemērā īpašvērtība $\lambda =2$ ar algebrisku daudzējādību 2 deva viendimensijas īpaštelpu. Bet citos gadījumos īpašvērtība ar algebrisku daudzējādību 2 var dot arī divdimensiju īpaštelpas. Vispārējs princips: ģeometriska daudzējādība var būt mazāka vai vienāda ar algebrisko daudzējādību. Piemēram, lineārai transformācijai

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

ir divas īpašvērtības 0 un 1 (kā jebkurai trijstūrveida matricai, īpašvērtības pārstāv galvenās diagonāles elementi). Var redzēt, ka īpašvērtībai 1 ir algebriska daudzējādība 2. Liekot šo īpašvērtību sākotnējā vektoriālajā vienādojumā, iegūst sekjošu vienādojumu sistēmu:

${\begin{cases}-1x+0+0=0\\0+(1-1)y=0\\0+0+(1-1)z=0\end{cases}}$

Šeit vektora komponentam $x$ vienmēr ir vērtība 0, bet komponenti $y$ un $z$ ir neatkarīgi viens no otra. Tātad, īpašvektoram ir ģenerālā forma $(0,k,l)^{\top }$, kur $k$ un $l$ nevar būt vienādi ar nulli vienlaikus. Šīs īpašvērtības īpaštelpa ir vektoru kopa

$S(1)=\{(0,k,l):k,l\in \mathbb {R} \}$

Jebkuru vektoru šajā kopā var izteikt kā lineāri neatkarīgu vektoru superpozīciju $k(0,1,0)+l(0,0,1)$. Līdz ar to šī īpaštelpa ir divdimensiju telpa (un proti, plakne ar formulu x = 0), t. i. tās ģeometriskā daudzējādība ir 2 un vienāda ar īpašvērtības algebraisko daudzējādību.

Ģeometriski piemēri plaknē

Sekojošā tabula ir doti daži transformāciju piemēri plaknē kopā ar attiecīgām 2×2 matricām, īpašvērtībām un īpašvektoriem.

	Horizontāla bīde	Mērogošana	Nevienāda mērogošana	Hiperboliskā rotācija
Ilustrācija	Horizontālas bīdes transformācija
Matrica	${\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}$
Harakteristiskais polinoms	λ2 − 2λ+1 = (1 − λ)2 = 0	λ2 − 2λk + k2 = (λ − k)2 = 0	(λ − k1)(λ − k2) = 0	λ2 − 2λ cosh φ + 1 = 0
Īpašvērtības λi	λ1,2=1	λ1,2=k	λ1 = k1, λ2 = k2	λ1 = exp(φ), λ2 = exp(−φ),
Algebriskā un ģeometriskā daudzējādība	n1 = 2, m1 = 1	n1 = 2, m1 = 2	n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1	n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1
Īpašvektori	$\mathbf {u} _{1}=(1,0)$	Visi nenulles vektori	$\mathbf {u} _{1}=(1,0),\mathbf {u} _{2}=(0,1)$	$\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},\mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}.$

Bīde

Bīde ir transformācija, pie kuras visi punkti gar noteiktu līniju paliek savās vietās, bet citi punkti nobīdās paralēli šai līnijai par attālumu, kurš ir proporcionāls punkta perpendikulāram attālumam no līnijas. Horizontālajā bīdē, kura ir attēlota augšā, plaknes punkts P pārvietojas paralēli x asij uz punktu P' , jo punkta y koordināta nemainās, bet x koordināta pieaug x = x + k y, kur k sauc par bīdes koeficientu. Bīdes leņķi φ nosaka k = cotφ.

Atkārtoti pielietojot bīdes transformāciju, jebkura plaknes vektora virziens mainās arvien tuvāk īpašvektora virzienam.

Vienmērīga mērogošana un atspoguļošana punktā

Katra vektora reizināšanu ar nemainīgu reālu skaitli k var izteikt ar diagonālmatricu, kurā visi diagonāles elementi ir vienādi ar k. Mehāniski tas atbilst gumijas loksnes vienādai stiepšanai visos virzienos. Piemēram, šādai transformācijai ir pakļauts katrs gaisa balona fragments, piepušot balonu. Visi vektori, kuri iziet no centra (piemēram, kāda izvēlēta punkta uz balona virsmas), izstiepjas ar vienādu mērogošanas koeficientu k, nemainot savu sākotnējo vērsumu. Tādējādi, katrs nenulles vektors ir īpašvektors ar īpašvērtību k. Šīs transformācijas fizisks paveids − stiepšana (pagarināšana, paplašināšana, inflācija) vai sarukšana (saspiešana, deflācija) − ir atkarīgs no mērogošanas koeficienta: k > 1 atbilst stiepšanai, bet 0 < k < 1 sarukumam. Negatīvas k vērtības atbilst apvēršanai, kurai seko izstiepšanās vai sarukšana, atkarībā no k absolūtās vērtības.

Nevienāda mērogošana

Nedaudz sarežģītakam piemēram aplūkosim loksni, kura tiek nevienādi izstiepta divos perpendikulāros virzienos gar koordinātu asīm, vai arī izstiepta vienā virzienā un saspiesta citā. Šajā gadījumā ir divi dažādi mērogošanas koeficienti: k₁ virzienam x, un k₂ virzienam y. Ja īpašvērtība ir lielāka par 1, vektori izstiepjas attiecīgā īpašvektora virzienā. Ja mazāka par 1, vektori sarūk. Negatīvas īpašvērtības atbilst atspoguļošanai, kurai seko izstiepšanās vai sarukšana. Vispārīgā gadījumā matricas, kuras ir diagonalizējamas reālos skaitļos, atveido mērogojumus un atspoguļojumus: īpašvērtības ir mērogošanas koeficienti (tos var viegli nolasīt kā diagonāles elementus pēc matricas diagonalizēšanas), bet īpašvektori ir mērogojumu virzieni.

Attēlā ir parādīts gadījums, kur $k_{1}>1$ un $1>k_{2}>0$. Gumijas loksne tiek izstiepta gar x asi un vienlaikus saspiesta gar y asi.

Hiperboliska rotācija

Īpašvērtības ir apgrieztie skaitļi attiecībā viens uz otru.